Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Послідовності та рядиАлгебраУніверситет≈ 2:28

Обчисліть суму 1/(n(n+1)) від n=1 до ∞

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Ряд збігається (гранична ознака порівняння з Σ 1/n^2); сума ≈ 1 (збігається з 1 до 10+ знаків).

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.9 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)}
  2. 2. Крок за кроком
    1. ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)}
      Записуємо ряд
    2. lim⁡n→∞1n(n+1)=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)} = 0
      Необхідна ознака збіжності
    3. lim⁡n→∞an1/n2=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1
      Гранична ознака порівняння з узагальненим гармонічним рядом
    4. Оцінити суму чисельно
  3. 3. Відповідь
    ∑n=1∞1n(n+1) збігається≈1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)} \ \text{збігається} \approx 1

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 1 (matches 1 to 10+ digits)

  4. 4. Перевірка
    • Часткові суми (підтвердження, а не доведення): S₁₀ = 0.90909091, S₁₀₀ = 0.99009901, S₁₀₀₀ = 0.999001, S₁₀₀₀₀ = 0.99990001

Розшифровка

Задача. Ось задача: Обчисліть суму 1/(n(n плюс 1)) від n дорівнює 1 до нескінченність. Визначимо, чи збігається або розбігається Σ 1 / (n(n плюс 1)) (n від 1 до ∞).

Крок за кроком. Записуємо ряд. Σ a(n) для n дорівнює 1, 2, 3, … з a(n) дорівнює 1 / (n(n плюс 1)). Перші члени: 0.5, 0.166667, 0.0833333, 0.05, …. Необхідна ознака збіжності. lim a(n) дорівнює 0, тому необхідна ознака нічого не вирішує; члени ряду справді спадають, тож потрібна тонша ознака. Гранична ознака порівняння з узагальненим гармонічним рядом. Додатні члени: члени ряду спадають приблизно як 1/n у квадраті (оцінка за a(2N)/a(N)), тому порівнюємо з Σ 1/n у квадраті: lim a(n) помножити на n у квадраті дорівнює 1. Границя — додатне скінченне число, отже, ряд поводиться так само, як узагальнений гармонічний ряд Σ 1/n у квадраті, який збігається, бо p більше ніж 1. Оцінити суму чисельно. Часткові суми S N обчислено для кількох N та екстрапольовано до N → ∞ (екстраполяція Річардсона; для знакозмінних членів спершу береться середнє). Дві незалежні екстраполяції збігаються з точністю кращою за 10 у степені мінус 10 і дають S приблизно 1. Показана замкнена форма — чисельне ототожнення, а не доведення.

Відповідь. Отже, відповідь: Ряд збігається (гранична ознака порівняння з Σ 1/n у квадраті); сума приблизно 1 (збігається з 1 до 10+ знаків). Ряд збігається, якщо його часткові суми прямують до скінченного числа. Для цього члени ряду мають прямувати до 0, але самого цього недостатньо (гармонічний ряд розбігається), тому для відповіді застосовується ознака порівняння, ознака Д штрих Аламбера, радикальна ознака Коші, ознака Лейбніца або інтегральна ознака.

Перевірка. Часткові суми (підтвердження, а не доведення): S₁₀ дорівнює 0.90909091, S₁₀₀ дорівнює 0.99009901, S₁₀₀₀ дорівнює 0.999001, S₁₀₀₀₀ дорівнює 0.99990001.

Схожі уроки

Обчисліть суму 1/(n(n+1)) від n=1 до ∞ — покроковий відеоурок