Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Послідовності та рядиАлгебраУніверситет≈ 3:06

Обчисліть суму (-1)ⁿ/n від n=1 до ∞

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Ряд збігається умовно (ознака Лейбніца); сума ≈ -0.6931471806 (збігається з −ln(2) до 10+ знаків).

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (1.1 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}
      Записуємо ряд
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
      Необхідна ознака збіжності
    3. Ознака Лейбніца
    4. lim⁡n→∞an1/n=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1
      Гранична ознака порівняння з узагальненим гармонічним рядом
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. Абсолютно чи умовно?
    2. Оцінити суму чисельно
  4. 4. Відповідь
    ∑n=1∞(−1)nn збігається умовно≈−0.6931471806\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{збігається умовно} \approx -0.6931471806

    alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)

  5. 5. Перевірка
    • Часткові суми (підтвердження, а не доведення): S₁₀ = -0.64563492, S₁₀₀ = -0.68817218, S₁₀₀₀ = -0.69264743, S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

Розшифровка

Задача. Ось задача: Обчисліть суму (мінус 1) у степені n/n від n дорівнює 1 до нескінченність. З штрих ясуємо, чи збігається, чи розбігається Σ (мінус 1) у степені n / n (n від 1 до ∞).

Кроки, частина 1. Записуємо ряд. Σ a(n) при n дорівнює 1, 2, 3, … де a(n) дорівнює (мінус 1) у степені n / n. Перші члени: мінус 1, 0.5, мінус 0.333333, 0.25, …. Необхідна ознака збіжності. lim |a(n)| дорівнює 0, тому необхідна ознака нічого не вирішує; члени ряду справді спадають, тож потрібна тонша ознака. Ознака Лейбніца. Знаки чергуються, а модулі b(n) дорівнює 1 / n спадають (перевірено на 310 індексах до 10 у степені 6) і прямують до 0, тому ряд збігається. Гранична ознака порівняння з узагальненим гармонічним рядом. Ряд із модулів Σ 1 / n: члени спадають приблизно як 1/n (оцінка за a(2N)/a(N)), тому порівнюємо з Σ 1/n: lim a(n) помножити на n дорівнює 1. Границя — додатне скінченне число, отже, ряд поводиться так само, як узагальнений гармонічний ряд Σ 1/n, який розбігається, бо p менше або дорівнює 1.

Кроки, частина 2. Абсолютно чи умовно?. Σ |a(n)| розбігається (гранична ознака порівняння з Σ 1/n), тому ряд збігається лише умовно. Оцінити суму чисельно. Часткові суми S N обчислено для кількох N та екстрапольовано до N → ∞ (екстраполяція Річардсона; для знакозмінних членів спершу береться середнє). Дві незалежні екстраполяції збігаються з точністю кращою за 10 у степені мінус 10 і дають S приблизно мінус 0.6931471806. Показана замкнена форма — чисельне ототожнення, а не доведення.

Відповідь. Отже, відповідь: Ряд збігається умовно (ознака Лейбніца); сума приблизно мінус 0.6931471806 (збігається з мінус ln(2) до 10+ знаків). Ряд збігається, якщо його часткові суми прямують до скінченного числа. Для цього члени ряду мають прямувати до 0, але самого цього недостатньо (гармонічний ряд розбігається), тому для відповіді застосовується ознака порівняння, ознака Д штрих Аламбера, радикальна ознака Коші, ознака Лейбніца або інтегральна ознака.

Перевірка. Часткові суми (підтвердження, а не доведення): S₁₀ дорівнює мінус 0.64563492, S₁₀₀ дорівнює мінус 0.68817218, S₁₀₀₀ дорівнює мінус 0.69264743, S₁₀₀₀₀ дорівнює мінус 0.69309718.

Схожі уроки

Обчисліть суму (-1)ⁿ/n від n=1 до ∞ — покроковий відеоурок