Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 1:54

Знайдіть lim x→0 sin(3x)/x

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 3.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.7 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→0sin⁡(3x)x\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(3x\right)}{x}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→0sin⁡(3x)x=lim⁡x→03cos⁡(3x)1\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(3x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3\cos\left(3x\right)}{1}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→03cos⁡(3x)1=lim⁡x→03cos⁡(3x)\lim_{x \to 0} \frac{3\cos\left(3x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} 3\cos\left(3x\right)
      Скорочуємо
    3. lim⁡x→03cos⁡(3x)=3cos⁡(3(0))=3\lim_{x \to 0} 3\cos\left(3x\right) = 3\cos\left(3\left(0\right)\right) = 3
      Безпосередня підстановка
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→0sin⁡(3x)x=3\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(3x\right)}{x} = 3

    lim x→0 sin(3 x) / x = 3

  4. 4. Перевірка
    • Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) = 2.99955, f(0.001) = 2.9999955, f(0.0001) = 3, f(0.00001) = 3 ✓
    • Чисельні значення зліва збігаються: f(-0.01) = 2.99955, f(-0.001) = 2.9999955, f(-0.0001) = 3, f(-0.00001) = 3 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 sin(3x)/x. Знайдемо границю sin(3 x) / x при x → 0.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 3. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) дорівнює 2.99955, f(0.001) дорівнює 2.9999955, f(0.0001) дорівнює 3, f(0.00001) дорівнює 3, що правильно. Чисельні значення зліва збігаються: f(мінус 0.01) дорівнює 2.99955, f(мінус 0.001) дорівнює 2.9999955, f(мінус 0.0001) дорівнює 3, f(мінус 0.00001) дорівнює 3, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→0 sin(3x)/x — покроковий відеоурок