Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:00

Знайдіть lim x→∞ (5x³ - x)/(2x³ + 7)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 5/2 ≈ 2.5.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.7 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→∞5x3−x2x3+7\lim_{x \to \infty} \frac{5{x}^{3}- x}{2{x}^{3}+7}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→∞5x3−x2x3+7=lim⁡x→∞15x2−16x2\lim_{x \to \infty} \frac{5{x}^{3}- x}{2{x}^{3}+7} = \lim_{x \to \infty} \frac{15{x}^{2}-1}{6{x}^{2}}
      Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→∞15x2−16x2=lim⁡x→∞30x12x\lim_{x \to \infty} \frac{15{x}^{2}-1}{6{x}^{2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{30x}{12x}
      Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя
    3. lim⁡x→∞30x12x=52\lim_{x \to \infty} \frac{30x}{12x} = \frac{5}{2}
      Скорочуємо
    4. lim⁡x→∞52=52\lim_{x \to \infty} \frac{5}{2} = \frac{5}{2}
      Вираз є сталою
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→∞5x3−x2x3+7=52≈2.5\lim_{x \to \infty} \frac{5{x}^{3}- x}{2{x}^{3}+7} = \frac{5}{2} \approx 2.5

    lim x→∞ (5 x³ - x) / (2 x³ + 7) = 5/2 ≈ 2.5

  4. 4. Перевірка
    • Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) = 2.4999648, f(1271.8281) = 2.4999997, f(12718.281) = 2.5, f(127182.81) = 2.5 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж нескінченність (5x у кубі мінус x)/(2x у кубі плюс 7). Знайдемо границю (5 x у кубі мінус x) / (2 x у кубі плюс 7) при x → ∞.

Крок за кроком. Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Вираз є сталою.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 5 поділити на 2 приблизно 2.5. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) дорівнює 2.4999648, f(1271.8281) дорівнює 2.4999997, f(12718.281) дорівнює 2.5, f(127182.81) дорівнює 2.5, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→∞ (5x³ - x)/(2x³ + 7) — покроковий відеоурок