Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:20

Знайдіть lim x→9 (√(x) - 3)/(x - 9)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 1/6 ≈ 0.1666666667.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.9 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→9x−3x−9\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→9x−3x−9=lim⁡x→912x1\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9} = \lim_{x \to 9} \frac{\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{x}}}{1}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→912x1=lim⁡x→912x\lim_{x \to 9} \frac{\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{x}}}{1} = \lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{x}}
      Скорочуємо
    3. lim⁡x→912x=129=16≈0.1666666667\lim_{x \to 9} \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{x}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{6} \approx 0.1666666667
      Безпосередня підстановка
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→9x−3x−9=16≈0.1666666667\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9} = \frac{1}{6} \approx 0.1666666667

    lim x→9 (sqrt(x) - 3) / (x - 9) = 1/6 ≈ 0.1666666667

  4. 4. Перевірка
    • Чисельні значення справа збігаються: f(9.01) = 0.1666204, f(9.001) = 0.16666204, f(9.0001) = 0.1666662, f(9.00001) = 0.16666662 ✓
    • Чисельні значення зліва збігаються: f(8.99) = 0.16671299, f(8.999) = 0.1666713, f(8.9999) = 0.16666713, f(8.99999) = 0.16666671 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 9 (sqrt(x) мінус 3)/(x мінус 9). Знайдемо границю (sqrt(x) мінус 3) / (x мінус 9) при x → 9.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 9, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 1 поділити на 6 приблизно 0.1666666667. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення справа збігаються: f(9.01) дорівнює 0.1666204, f(9.001) дорівнює 0.16666204, f(9.0001) дорівнює 0.1666662, f(9.00001) дорівнює 0.16666662, що правильно. Чисельні значення зліва збігаються: f(8.99) дорівнює 0.16671299, f(8.999) дорівнює 0.1666713, f(8.9999) дорівнює 0.16666713, f(8.99999) дорівнює 0.16666671, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→9 (√(x) - 3)/(x - 9) — покроковий відеоурок