Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 1:50

Знайдіть lim x→∞ x sin(1/x)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 1.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.6 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→∞xsin⁡(1x)\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→∞xsin⁡(1x)=lim⁡x→∞sin⁡(1x)1x\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}
      Невизначеність 0·∞ — записуємо у вигляді частки
    2. lim⁡x→∞sin⁡(1x)1x=lim⁡x→∞−cos⁡(1x)x2−1x2\lim_{x \to \infty} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{{x}^{2}}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    3. lim⁡x→∞−cos⁡(1x)x2−1x2=lim⁡x→∞cos⁡(1x)\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{{x}^{2}}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \cos\left(\frac{1}{x}\right)
      Скорочуємо
    4. lim⁡x→∞cos⁡(1x)=lim⁡t→0cos⁡(t)=1\lim_{x \to \infty} \cos\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{t \to 0} \cos\left(\mathrm{t}\right) = 1
      Підставляємо x = 1/t (t → 0⁺)
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→∞xsin⁡(1x)=1\lim_{x \to \infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1

    lim x→∞ x sin(1 / x) = 1

  4. 4. Перевірка
    • Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) = 0.9999897, f(1271.8281) = 0.9999999, f(12718.281) = 1, f(127182.81) = 1 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж нескінченність x sin(1/x). Знайдемо границю x sin(1 / x) при x → ∞.

Крок за кроком. Невизначеність 0 помножити на ∞ — записуємо у вигляді частки. Переносячи один множник у знаменник у вигляді оберненої величини, перетворюємо 0 помножити на ∞ на 0 поділити на 0 або ∞/∞. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Підставляємо x дорівнює 1/t (t → 0 у степені плюс ).

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 1. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) дорівнює 0.9999897, f(1271.8281) дорівнює 0.9999999, f(12718.281) дорівнює 1, f(127182.81) дорівнює 1, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→∞ x sin(1/x) — покроковий відеоурок