ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:11

Знайдіть lim x→0 (e^(3x)-1)/sin(x)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 3.

ШвидкістьМова

Розділи

Транскрипт

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.8 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

1. Задача
Розібраний приклад
$\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)}$
2. Крок за кроком
1. $\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{3{e}^{3x}}{\cos\left( x\right)}$
  Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
2. $\lim_{x \to 0} \frac{3{e}^{3x}}{\cos\left( x\right)} = \frac{3{e}^{3\left(0\right)}}{\cos\left(0\right)} = 3$
  Безпосередня підстановка
3. Відповідь
$\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)} = 3$
lim x→0 (e^(3x) - 1) / sin(x) = 3
4. Перевірка
- Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) = 3.0455042, f(0.001) = 3.004505, f(0.0001) = 3.0004501, f(0.00001) = 3.000045 ✓
- Чисельні значення зліва збігаються: f(-0.01) = 2.9554959, f(-0.001) = 2.995505, f(-0.0001) = 2.99955, f(-0.00001) = 2.999955 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 (e у степені 3x мінус 1)/sin(x). Знайдемо границю (e у степені 3x мінус 1) / sin(x) при x → 0.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 3. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) дорівнює 3.0455042, f(0.001) дорівнює 3.004505, f(0.0001) дорівнює 3.0004501, f(0.00001) дорівнює 3.000045, що правильно. Чисельні значення зліва збігаються: f(мінус 0.01) дорівнює 2.9554959, f(мінус 0.001) дорівнює 2.995505, f(мінус 0.0001) дорівнює 2.99955, f(мінус 0.00001) дорівнює 2.999955, що правильно.

Кроки на екрані

Розшифровка

Схожі уроки