Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:54

Знайдіть lim x→0 (sin(x) - x)/x³

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = -(1/6) ≈ -0.1666666667.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (1.2 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→0sin⁡(x)−xx3\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)- x}{{x}^{3}}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→0sin⁡(x)−xx3=lim⁡x→0cos⁡(x)−13x2\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)- x}{{x}^{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{3{x}^{2}}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→0cos⁡(x)−13x2=lim⁡x→0−sin⁡(x)6x\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)-1}{3{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{6x}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    3. lim⁡x→0−sin⁡(x)6x=lim⁡x→0−cos⁡(x)6\lim_{x \to 0} \frac{-\sin\left( x\right)}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos\left( x\right)}{6}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    4. lim⁡x→0−cos⁡(x)6=−cos⁡(0)6=−16≈−0.1666666667\lim_{x \to 0} \frac{-\cos\left( x\right)}{6} = \frac{-\cos\left(0\right)}{6} = -\frac{1}{6} \approx -0.1666666667
      Безпосередня підстановка
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→0sin⁡(x)−xx3=−16≈−0.1666666667\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)- x}{{x}^{3}} = -\frac{1}{6} \approx -0.1666666667

    lim x→0 (sin(x) - x) / x³ = -(1/6) ≈ -0.1666666667

  4. 4. Перевірка
    • Числові значення справа: f(0.01) = -0.16666583, f(0.001) = -0.16666666, f(0.0001) = -0.16666666, f(0.00001) = -0.16666728 (немає чіткої тенденції при такій точності)
    • Числові значення зліва: f(-0.01) = -0.16666583, f(-0.001) = -0.16666666, f(-0.0001) = -0.16666666, f(-0.00001) = -0.16666728 (немає чіткої тенденції при такій точності)

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 (sin(x) мінус x)/x у кубі. Знайдемо границю (sin(x) мінус x) / x у кубі при x → 0.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює -(1 поділити на 6) приблизно мінус 0.1666666667. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Числові значення справа: f(0.01) дорівнює мінус 0.16666583, f(0.001) дорівнює мінус 0.16666666, f(0.0001) дорівнює мінус 0.16666666, f(0.00001) дорівнює мінус 0.16666728 (немає чіткої тенденції при такій точності). Числові значення зліва: f(мінус 0.01) дорівнює мінус 0.16666583, f(мінус 0.001) дорівнює мінус 0.16666666, f(мінус 0.0001) дорівнює мінус 0.16666666, f(мінус 0.00001) дорівнює мінус 0.16666728 (немає чіткої тенденції при такій точності).

Схожі уроки

Знайдіть lim x→0 (sin(x) - x)/x³ — покроковий відеоурок