Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:09

Знайдіть lim x→∞ √(x²+x) - x

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 1/2 ≈ 0.5.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.8 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→∞x2+x−x\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→∞x2+x−x=lim⁡x→∞x2+x2−x2x2+x+x\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+ x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}+ x}
      Невизначеність ∞ − ∞ — переписуємо
    2. lim⁡x→∞x2+x2−x2x2+x+x=lim⁡x→∞12x+12x2+x+1\lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+ x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}+ x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}}+1}
      Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя
    3. lim⁡x→∞12x+12x2+x+1=0.5\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}}+1} = 0.5
      Оцінимо граничну поведінку
    4. lim⁡x→∞x2+x−x=12\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \frac{1}{2}
      Визначимо значення
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→∞x2+x−x=12\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \frac{1}{2}

    lim x→∞ sqrt(x² + x) - x = 1/2 ≈ 0.5

  4. 4. Перевірка
    • Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) = 0.49902101, f(1271.8281) = 0.49990175, f(12718.281) = 0.49999017, f(127182.81) = 0.49999902 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж нескінченність sqrt(x у квадраті плюс x) мінус x. Знайдемо границю sqrt(x у квадраті плюс x) мінус x при x → ∞.

Крок за кроком. Невизначеність ∞ мінус ∞ — переписуємо. Множимо на спряжений вираз: (u мінус v)(u плюс v)/(u плюс v) дорівнює (u у квадраті мінус v у квадраті)/(u плюс v). Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Оцінимо граничну поведінку. Домінантна поведінка кожного доданка визначає границю. Визначимо значення. Переписаний вираз наближається до 0.5, що дорівнює 1 поділити на 2 з точністю до 10 у степені мінус 6; числові значення нижче це підтверджують.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 1 поділити на 2 приблизно 0.5. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) дорівнює 0.49902101, f(1271.8281) дорівнює 0.49990175, f(12718.281) дорівнює 0.49999017, f(127182.81) дорівнює 0.49999902, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→∞ √(x²+x) - x — покроковий відеоурок