Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:29

Знайдіть lim x→0 (2ˣ - 1)/x

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = ln(2) ≈ 0.6931471806.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.9 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→02x−1x\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→02x−1x=lim⁡x→02xln⁡(2)1\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x} \ln\left(2\right)}{1}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→02xln⁡(2)1=lim⁡x→02xln⁡(2)\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x} \ln\left(2\right)}{1} = \lim_{x \to 0} {2}^{x} \ln\left(2\right)
      Скорочуємо
    3. lim⁡x→02xln⁡(2)=20ln⁡(2)=ln⁡(2)≈0.6931471806\lim_{x \to 0} {2}^{x} \ln\left(2\right) = {2}^{0} \ln\left(2\right) = \ln\left(2\right) \approx 0.6931471806
      Безпосередня підстановка
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→02x−1x=ln⁡(2)≈0.6931471806\lim_{x \to 0} \frac{{2}^{x}-1}{x} = \ln\left(2\right) \approx 0.6931471806

    lim x→0 (2^x - 1) / x = ln(2) ≈ 0.6931471806

  4. 4. Перевірка
    • Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) = 0.69555501, f(0.001) = 0.69338746, f(0.0001) = 0.6931712, f(0.00001) = 0.69314958 ✓
    • Чисельні значення зліва збігаються: f(-0.01) = 0.69075046, f(-0.001) = 0.69290701, f(-0.0001) = 0.69312316, f(-0.00001) = 0.69314478 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 (2 у степені x мінус 1)/x. Знайдемо границю (2 у степені x мінус 1) / x при x → 0.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює ln(2) приблизно 0.6931471806. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) дорівнює 0.69555501, f(0.001) дорівнює 0.69338746, f(0.0001) дорівнює 0.6931712, f(0.00001) дорівнює 0.69314958, що правильно. Чисельні значення зліва збігаються: f(мінус 0.01) дорівнює 0.69075046, f(мінус 0.001) дорівнює 0.69290701, f(мінус 0.0001) дорівнює 0.69312316, f(мінус 0.00001) дорівнює 0.69314478, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→0 (2ˣ - 1)/x — покроковий відеоурок