Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:09

Знайдіть lim x→0 (e^(4x)-1)/sin(x)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 4.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.8 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→0e4x−1sin⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{4x}-1}{\sin\left( x\right)}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→0e4x−1sin⁡(x)=lim⁡x→04e4xcos⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{4x}-1}{\sin\left( x\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{4{e}^{4x}}{\cos\left( x\right)}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→04e4xcos⁡(x)=4e4(0)cos⁡(0)=4\lim_{x \to 0} \frac{4{e}^{4x}}{\cos\left( x\right)} = \frac{4{e}^{4\left(0\right)}}{\cos\left(0\right)} = 4
      Безпосередня підстановка
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→0e4x−1sin⁡(x)=4\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{4x}-1}{\sin\left( x\right)} = 4

    lim x→0 (e^(4x) - 1) / sin(x) = 4

  4. 4. Перевірка
    • Числові значення справа: f(0.01) = 4.0811454, f(0.001) = 4.0080113, f(0.0001) = 4.0008001, f(0.00001) = 4.00008 (немає чіткої тенденції при такій точності)
    • Числові значення зліва: f(-0.01) = 3.9211214, f(-0.001) = 3.9920113, f(-0.0001) = 3.9992001, f(-0.00001) = 3.99992 (немає чіткої тенденції при такій точності)

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 (e у степені 4x мінус 1)/sin(x). Знайдемо границю (e у степені 4x мінус 1) / sin(x) при x → 0.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 4. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Числові значення справа: f(0.01) дорівнює 4.0811454, f(0.001) дорівнює 4.0080113, f(0.0001) дорівнює 4.0008001, f(0.00001) дорівнює 4.00008 (немає чіткої тенденції при такій точності). Числові значення зліва: f(мінус 0.01) дорівнює 3.9211214, f(мінус 0.001) дорівнює 3.9920113, f(мінус 0.0001) дорівнює 3.9992001, f(мінус 0.00001) дорівнює 3.99992 (немає чіткої тенденції при такій точності).

Схожі уроки

Знайдіть lim x→0 (e^(4x)-1)/sin(x) — покроковий відеоурок