Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 1:50

Знайдіть lim x→∞ ln(x)/x

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 0.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.6 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→∞ln⁡(x)x\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left( x\right)}{x}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→∞ln⁡(x)x=lim⁡x→∞1x1\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left( x\right)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}
      Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→∞1x1=lim⁡x→∞1x\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}
      Скорочуємо
    3. lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0
      Обмежений чисельник над необмеженим знаменником
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→∞ln⁡(x)x=0\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left( x\right)}{x} = 0

    lim x→∞ ln(x) / x = 0

  4. 4. Перевірка
    • Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) = 0.038099689, f(1271.8281) = 0.005620422, f(12718.281) = 0.0007430875, f(127182.81) = 0.000092413281 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж нескінченність ln(x)/x. Знайдемо границю ln(x) / x при x → ∞.

Крок за кроком. Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Обмежений чисельник над необмеженим знаменником. Чисельник прямує до 1, а знаменник необмежено зростає, тому частка прямує до 0.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 0. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення при зростанні x збігаються: f(127.18281) дорівнює 0.038099689, f(1271.8281) дорівнює 0.005620422, f(12718.281) дорівнює 0.0007430875, f(127182.81) дорівнює 0.000092413281, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→∞ ln(x)/x — покроковий відеоурок