Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:54

Знайдіть lim x→0 (1 + x)^(1/x)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = e ≈ 2.718281828.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (1.1 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→0(1+x)1x\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}}
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. lim⁡x→0(1+x)1x=e lim⁡x→0[1xln⁡(1+x)]\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{\,\lim_{x \to 0} \left[\frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right)\right]}
      Невизначеність 1^∞ — логарифмуємо
    2. lim⁡x→01xln⁡(1+x)=lim⁡x→0ln⁡(x+1)x\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x}
      Невизначеність 0·∞ — записуємо у вигляді частки
    3. lim⁡x→0ln⁡(x+1)x=lim⁡x→01x+11\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    4. lim⁡x→01x+11=lim⁡x→01x+1\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1}
      Скорочуємо
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. lim⁡x→01x+1=10+1=1\lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0+1} = 1
      Безпосередня підстановка
    2. lim⁡x→0(1+x)1x=e1=e\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{1} = e
      Потенціюємо результат
  4. 4. Відповідь
    lim⁡x→0(1+x)1x=e≈2.718281828\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e \approx 2.718281828

    lim x→0 (1 + x)^(1 / x) = e ≈ 2.718281828

  5. 5. Перевірка
    • Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) = 2.7048138, f(0.001) = 2.7169239, f(0.0001) = 2.7181459, f(0.00001) = 2.7182682 ✓
    • Чисельні значення зліва збігаються: f(-0.01) = 2.731999, f(-0.001) = 2.7196422, f(-0.0001) = 2.7184178, f(-0.00001) = 2.7182954 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 (1 плюс x) у степені 1/x). Знайдемо границю (1 плюс x) у степені 1 / x) при x → 0.

Кроки, частина 1. Невизначеність 1^∞ — логарифмуємо. Запишемо степінь як e^(показник помножити на ln основи); оскільки eᵘ неперервна, границя дорівнює e у степені границі показника. Невизначеність 0 помножити на ∞ — записуємо у вигляді частки. Переносячи один множник у знаменник у вигляді оберненої величини, перетворюємо 0 помножити на ∞ на 0 поділити на 0 або ∞/∞. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо.

Кроки, частина 2. Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці. Потенціюємо результат.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює e приблизно 2.718281828. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) дорівнює 2.7048138, f(0.001) дорівнює 2.7169239, f(0.0001) дорівнює 2.7181459, f(0.00001) дорівнює 2.7182682, що правильно. Чисельні значення зліва збігаються: f(мінус 0.01) дорівнює 2.731999, f(мінус 0.001) дорівнює 2.7196422, f(мінус 0.0001) дорівнює 2.7184178, f(мінус 0.00001) дорівнює 2.7182954, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→0 (1 + x)^(1/x) — покроковий відеоурок