Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:14

Знайдіть lim x→3 (x² + x - 12)/(x² - 9)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 7/6 ≈ 1.166666667.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.8 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→3x2+x−12x2−9\lim_{x \to 3} \frac{{x}^{2}+ x-12}{{x}^{2}-9}
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→3x2+x−12x2−9=lim⁡x→32x+12x\lim_{x \to 3} \frac{{x}^{2}+ x-12}{{x}^{2}-9} = \lim_{x \to 3} \frac{2x+1}{2x}
      Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
    2. lim⁡x→32x+12x=2⋅3+12⋅3=76≈1.166666667\lim_{x \to 3} \frac{2x+1}{2x} = \frac{2\cdot3+1}{2\cdot3} = \frac{7}{6} \approx 1.166666667
      Безпосередня підстановка
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→3x2+x−12x2−9=76≈1.166666667\lim_{x \to 3} \frac{{x}^{2}+ x-12}{{x}^{2}-9} = \frac{7}{6} \approx 1.166666667

    lim x→3 (x² + x - 12) / (x² - 9) = 7/6 ≈ 1.166666667

  4. 4. Перевірка
    • Чисельні значення справа збігаються: f(3.01) = 1.1663894, f(3.001) = 1.1666389, f(3.0001) = 1.1666639, f(3.00001) = 1.1666664 ✓
    • Чисельні значення зліва збігаються: f(2.99) = 1.1669449, f(2.999) = 1.1666944, f(2.9999) = 1.1666694, f(2.99999) = 1.1666669 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 3 (x у квадраті плюс x мінус 12)/(x у квадраті мінус 9). Знайдемо границю (x у квадраті плюс x мінус 12) / (x у квадраті мінус 9) при x → 3.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 3, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 7 поділити на 6 приблизно 1.166666667. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення справа збігаються: f(3.01) дорівнює 1.1663894, f(3.001) дорівнює 1.1666389, f(3.0001) дорівнює 1.1666639, f(3.00001) дорівнює 1.1666664, що правильно. Чисельні значення зліва збігаються: f(2.99) дорівнює 1.1669449, f(2.999) дорівнює 1.1666944, f(2.9999) дорівнює 1.1666694, f(2.99999) дорівнює 1.1666669, що правильно.

Схожі уроки

Знайдіть lim x→3 (x² + x - 12)/(x² - 9) — покроковий відеоурок