ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 1:57

Знайдіть lim x→0 tan(x)/x

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 1.

ШвидкістьМова

Розділи

Транскрипт

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.7 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

1. Задача
Розібраний приклад
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)}{x}$
2. Крок за кроком
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}}{1}$
  Невизначеність 0/0 — застосовуємо правило Лопіталя
2. $\lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}}{1} = \lim_{x \to 0} {\sec\left( x\right)}^{2}$
  Скорочуємо
3. $\lim_{x \to 0} {\sec\left( x\right)}^{2} = {\sec\left(0\right)}^{2} = 1$
  Безпосередня підстановка
3. Відповідь
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)}{x} = 1$
lim x→0 tan(x) / x = 1
4. Перевірка
- Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) = 1.0000333, f(0.001) = 1.0000003, f(0.0001) = 1, f(0.00001) = 1 ✓
- Чисельні значення зліва збігаються: f(-0.01) = 1.0000333, f(-0.001) = 1.0000003, f(-0.0001) = 1, f(-0.00001) = 1 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 tan(x)/x. Знайдемо границю tan(x) / x при x → 0.

Крок за кроком. Невизначеність 0 поділити на 0 — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 1. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Чисельні значення справа збігаються: f(0.01) дорівнює 1.0000333, f(0.001) дорівнює 1.0000003, f(0.0001) дорівнює 1, f(0.00001) дорівнює 1, що правильно. Чисельні значення зліва збігаються: f(мінус 0.01) дорівнює 1.0000333, f(мінус 0.001) дорівнює 1.0000003, f(мінус 0.0001) дорівнює 1, f(мінус 0.00001) дорівнює 1, що правильно.

Кроки на екрані

Розшифровка

Схожі уроки