Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
ГраниціМатематичний аналізУніверситет≈ 2:13

Знайдіть lim x→0 x ln(x)

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Границя = 0.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.9 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    lim⁡x→0xln⁡(x)\lim_{x \to 0} x \ln\left( x\right)
  2. 2. Крок за кроком
    1. lim⁡x→0xln⁡(x)=lim⁡x→0ln⁡(x)1x\lim_{x \to 0} x \ln\left( x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x\right)}{\frac{1}{x}}
      Невизначеність 0·∞ — записуємо у вигляді частки
    2. lim⁡x→0ln⁡(x)1x=lim⁡x→01x−1x2\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя
    3. lim⁡x→01x−1x2=lim⁡x→0−x\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to 0} - x
      Скорочуємо
    4. lim⁡x→0−x=−0=0\lim_{x \to 0} - x = -0 = 0
      Безпосередня підстановка
  3. 3. Відповідь
    lim⁡x→0xln⁡(x)=0\lim_{x \to 0} x \ln\left( x\right) = 0

    lim x→0 x ln(x) = 0

  4. 4. Перевірка
    • Числові значення справа: f(0.01) = -0.046051702, f(0.001) = -0.0069077553, f(0.0001) = -0.00092103404, f(0.00001) = -0.00011512925 (немає чіткої тенденції при такій точності)
    • Числові значення зліва: f(-0.01) = не визначено, f(-0.001) = не визначено, f(-0.0001) = не визначено, f(-0.00001) = не визначено (немає чіткої тенденції при такій точності)

Розшифровка

Задача. Ось задача: Знайдіть lim x- більше ніж 0 x ln(x). Знайдемо границю x ln(x) при x → 0.

Крок за кроком. Невизначеність 0 помножити на ∞ — записуємо у вигляді частки. Переносячи один множник у знаменник у вигляді оберненої величини, перетворюємо 0 помножити на ∞ на 0 поділити на 0 або ∞/∞. Невизначеність ∞/∞ — застосовуємо правило Лопіталя. Диференціюємо чисельник і знаменник окремо (це не правило диференціювання частки). Скорочуємо. Безпосередня підстановка. Вираз неперервний у точці x дорівнює 0, тому границя дорівнює його значенню в цій точці.

Відповідь. Отже, відповідь: Границя дорівнює 0. Границя описує значення, до якого прямує функція, а не обов штрих язково значення, якого вона набуває. Якщо підстановка дає невизначеність, вираз перетворюють (правило Лопіталя, множення на спряжений вираз або логарифмування), доки підстановка не спрацює.

Перевірка. Числові значення справа: f(0.01) дорівнює мінус 0.046051702, f(0.001) дорівнює мінус 0.0069077553, f(0.0001) дорівнює мінус 0.00092103404, f(0.00001) дорівнює мінус 0.00011512925 (немає чіткої тенденції при такій точності). Числові значення зліва: f(мінус 0.01) дорівнює не визначено, f(мінус 0.001) дорівнює не визначено, f(мінус 0.0001) дорівнює не визначено, f(мінус 0.00001) дорівнює не визначено (немає чіткої тенденції при такій точності).

Схожі уроки

Знайдіть lim x→0 x ln(x) — покроковий відеоурок