Визначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 0:53

Інтегруйте 1/x від 1 до e²

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: 2.

ШвидкістьМова

Розділи

Транскрипт

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.3 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

1. Задача
Розібраний приклад
$\int_{1}^{{e}^{2}} \frac{1}{x}\,dx$
2. Кроки, частина 1
1. $\int_{1}^{{e}^{2}} \frac{1}{x}\,dx$
  Записуємо визначений інтеграл
2. $\int {x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Правило для оберненої функції: ∫ 1/x dx = ln|x|
3. $\int 1{x}^{-1}\,dx = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Винесення сталого множника: ∫ k·f dx = k∫ f dx
4. $F(x) = \ln\left(\left| x\right|\right)$
  Первісна
3. Кроки, частина 2
1. $F({e}^{2}) - F(1) = 2 - 0 = 2$
  Застосовуємо формулу Ньютона — Лейбніца
4. Відповідь
$\int_{1}^{{e}^{2}} \frac{1}{x}\,dx = 2$
∫ from 1 to e^2 = 2
5. Перевірка
- Продиференціювали первісну й порівняли її з підінтегральною функцією ✓
- Адаптивний метод Сімпсона дає 2 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Інтегруйте 1/x від 1 до e у квадраті. Обчислимо визначений інтеграл від 1 / x від x дорівнює 1 до x дорівнює e у квадраті.

Кроки, частина 1. Записуємо визначений інтеграл. Правило для оберненої функції: інтеграл від 1/x dx дорівнює ln|x|. Винесення сталого множника: інтеграл від k помножити на f dx дорівнює k інтеграл від f dx. Первісна.

Кроки, частина 2. Застосовуємо формулу Ньютона — Лейбніца.

Відповідь. Отже, відповідь: 2. Визначений інтеграл дає орієнтовану площу між кривою та віссю x: площа над віссю вважається додатною, а під віссю — від штрих ємною.

Перевірка. Продиференціювали первісну й порівняли її з підінтегральною функцією, що правильно. Адаптивний метод Сімпсона дає 2, що правильно.

Кроки на екрані

Розшифровка

Схожі уроки