Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Визначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 1:24

Інтегруйте 1/(x²+1) від 0 до ∞

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: Збігається: π/2 ≈ 1.570796327.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.5 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫0∞1x2+1 dx\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. Це невласний інтеграл
    2. ∫1x2+1 dx=tan⁡−1(x)\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)
      Формула арктангенса: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
    3. F(x)=tan⁡−1(x)F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)
      Первісна
    4. lim⁡x→∞F(x)=π2≈1.570796327,F(0)=0\lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327,\quad F(0) = 0
      Обчислюємо частину від 0 до inf
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ∫0∞1x2+1 dx=π2≈1.570796327\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327
      Додаємо частини
  4. 4. Відповідь
    ∫0∞1x2+1 dx=π2≈1.570796327\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327

    Converges to π/2 ≈ 1.570796327

  5. 5. Перевірка
    • Первісну перевірено диференціюванням ✓
    • Кожну границю первісної обчислено модулем границь і перевірено чисельно ✓
    • Наближена чисельна оцінка (з відступом 10⁻⁶ від асимптот і обривом на ±1000 для нескінченних меж): 1.5698

Розшифровка

Задача. Ось задача: Інтегруйте 1/(x у квадраті плюс 1) від 0 до нескінченність. Обчислимо невласний інтеграл від 1 / (x у квадраті плюс 1) на проміжку від 0 до inf.

Кроки, частина 1. Це невласний інтеграл. Він невласний, бо одна з меж інтегрування нескінченна. Він визначається як границя й збігається, лише якщо кожна границя скінченна. Формула арктангенса: інтеграл від du/(a у квадраті плюс u у квадраті) дорівнює (1/a) помножити на arctan(u/a). Первісна. Обчислюємо частину від 0 до inf.

Кроки, частина 2. Додаємо частини. Кожна границя скінченна, тому інтеграл збігається.

Відповідь. Отже, відповідь: Збігається: пі/2 приблизно 1.570796327. У невласному інтегралі особливу точку замінюють змінною, інтегрують звичайним способом і потім переходять до границі. Скінченна границя означає, що нескінченна область усе ж має скінченну площу.

Перевірка. Первісну перевірено диференціюванням, що правильно. Кожну границю первісної обчислено модулем границь і перевірено чисельно, що правильно. Наближена чисельна оцінка (з відступом 10 у степені мінус 6 від асимптот і обривом на плюс-мінус 1000 для нескінченних меж): 1.5698.

Схожі уроки

Інтегруйте 1/(x²+1) від 0 до ∞ — покроковий відеоурок