Визначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 1:00

Інтегруйте 1/(1 + x² від -1 до 1

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: 1.570796327 = π/2.

ШвидкістьМова

Розділи

Транскрипт

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.4 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

1. Задача
Розібраний приклад
$\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx$
2. Крок за кроком
1. $\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx$
  Записуємо визначений інтеграл
2. $\int \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Формула арктангенса: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
3. $F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Первісна
4. $F(1) - F(-1) = 0.7853981634 - \left(-0.7853981634\right) = 1.570796327$
  Застосовуємо формулу Ньютона — Лейбніца
3. Відповідь
$\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx = 1.570796327$
∫ from -1 to 1 = 1.570796327 = π/2
4. Перевірка
- Продиференціювали первісну й порівняли її з підінтегральною функцією ✓
- Адаптивний метод Сімпсона дає 1.570796327 ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Інтегруйте 1/(1 плюс x у квадраті) від мінус 1 до 1. Обчислимо визначений інтеграл від 1 / (1 плюс x у квадраті) на проміжку від x дорівнює мінус 1 до x дорівнює 1.

Крок за кроком. Записуємо визначений інтеграл. Формула арктангенса: інтеграл від du/(a у квадраті плюс u у квадраті) дорівнює (1/a) помножити на arctan(u/a). Первісна. Застосовуємо формулу Ньютона — Лейбніца.

Відповідь. Отже, відповідь: 1.570796327 дорівнює пі/2. Визначений інтеграл дає орієнтовану площу між кривою та віссю x: площа над віссю вважається додатною, а під віссю — від штрих ємною.

Перевірка. Продиференціювали первісну й порівняли її з підінтегральною функцією, що правильно. Адаптивний метод Сімпсона дає 1.570796327, що правильно.

Кроки на екрані

Розшифровка

Схожі уроки