Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу
Невизначені інтегралиМатематичний аналізУніверситет≈ 0:56

Інтегруйте (ln x)/x

Анімований покроковий урок. Натисніть «Відтворити», щоб дивитися кроки із субтитрами, або прочитайте кроки й розшифровку нижче. Відповідь: ln(x)²/2 + C.

Записане відео: голос і текст на екрані англійською мовою. Субтитри: Українська. Щоб прослухати озвучення цією мовою, відкрийте інтерактивну версію.

Англійське відео: Завантажити MP4 (0.3 MB) · Субтитри (WebVTT): Українська · Англійські субтитри (WebVTT)

Кроки на екрані

  1. 1. Задача
    Розібраний приклад
    ∫ln⁡(x)x dx\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx
  2. 2. Кроки, частина 1
    1. ∫ln⁡(x)x dx\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx
      Записуємо інтеграл
    2. ∫ln⁡(x)x dx=∫u1 du\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx = \int {u}^{1}\,du
      Підставимо u = ln(x), тоді du = (1 / x) dx
    3. ∫u1 du=u22\int {u}^{1}\,du = \frac{{u}^{2}}{2}
      Інтеграл степеня: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
    4. ∫ln⁡(x)x dx=ln⁡(x)22\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx = \frac{{\ln\left( x\right)}^{2}}{2}
      Виконаємо зворотну підстановку u = ln(x)
  3. 3. Кроки, частина 2
    1. ∫ln⁡(x)x dx=ln⁡(x)22+C\int \frac{\ln\left( x\right)}{x}\,dx = \frac{{\ln\left( x\right)}^{2}}{2} + C
      Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування
  4. 4. Відповідь
    ln⁡(x)22+C\frac{{\ln\left( x\right)}^{2}}{2} + C

    ∫ (ln(x)) / x dx = ln(x)²/2 + C

  5. 5. Перевірка
    • Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках ✓

Розшифровка

Задача. Ось задача: Інтегруйте (ln x)/x. Знайдемо невизначений інтеграл (первісну) від (ln(x)) / x за змінною x.

Кроки, частина 1. Записуємо інтеграл. Підставимо u дорівнює ln(x), тоді du дорівнює (1 / x) dx. Інтеграл степеня: інтеграл від x у степені n dx дорівнює x у степені n плюс 1/(n плюс 1). Виконаємо зворотну підстановку u дорівнює ln(x).

Кроки, частина 2. Спрощуємо й додаємо сталу інтегрування.

Відповідь. Отже, відповідь: ln(x) у квадраті/2 плюс C. Первісна F задовольняє умову F штрих від x дорівнює f(x). Оскільки похідна будь-якої сталої дорівнює 0, усі первісні відрізняються на сталу C.

Перевірка. Продиференціювали відповідь і порівняли її з підінтегральною функцією в 8 контрольних точках, що правильно.

Схожі уроки

Інтегруйте (ln x)/x — покроковий відеоурок