定积分微积分大学≈ 1:02

x sin(x) 从 0 到 π 的定积分

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx$
2. 步骤，第1部分
1. $\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx$
  写出定积分
2. $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
  分部积分（表格法）
3. $\int x \sin\left( x\right)\,dx = \sin\left( x\right)- x \cos\left( x\right)$
  合并正负交替的乘积
4. $F(x) = \sin\left( x\right)- x \cos\left( x\right)$
  原函数
3. 步骤，第2部分
1. $F(\pi) - F(0) = 3.141592654 - 0 = 3.141592654$
  应用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
4. 答案
$\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx = 3.141592654$
∫ from 0 to π = 3.141592654 = π
5. 检验
- 已对原函数求导并与被积函数比较 ✓
- 自适应辛普森法给出 3.141592654 ✓

题目. 题目是：x sin(x) 从 0 到 pi 的定积分. 求 x sin(x) 从 x 等于 0 到 x 等于派的定积分。

步骤，第1部分. 写出定积分. 分部积分（表格法）. 对多项式 x 逐次求导直到得到 0，对 sin(x) 积分同样多次，再按正负交替的符号组合起来。合并正负交替的乘积. 原函数.

步骤，第2部分. 应用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）.

答案. 所以答案是 3.141592654 等于派. 定积分给出曲线与 x 轴之间的有向面积：轴上方的面积记为正，轴下方的面积记为负。

检验. 已对原函数求导并与被积函数比较，验证成立. 自适应辛普森法给出 3.141592654，验证成立.