数列与级数代数大学≈ 1:59

计算 1/n 从 n=1 到 ∞ 的和

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1. 题目
例题讲解
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
2. 逐步讲解
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
  写出级数
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$
  通项判别法
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$
  与 p 级数作极限比较
3. 答案
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \ \text{发散}$
limit comparison with Σ 1/n ⇒ diverges
4. 检验
- 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ = 2.9289683，S₁₀₀ = 5.1873775，S₁₀₀₀ = 7.4854709，S₁₀₀₀₀ = 9.787606

文字稿

题目. 题目是：计算 1/n 从 n 等于 1 到无穷大的和. 判断从 1 到 ∞) 的 Σ 1 / n (n 收敛还是发散。

逐步讲解. 写出级数. Σ a(n)，其中 n 等于 1, 2, 3, …，a(n) 等于 1 / n。前几项：1, 0.5, 0.333333, 0.25, …. 通项判别法. lim a(n) 等于 0，所以发散判别法无法得出结论；各项确实在减小，因此需要更精细的判别法。与 p 级数作极限比较. 正项级数：各项缩减程度大致如 1/n（由 a(2N)/a(N)) 估计），所以与 Σ 1/n 比较：lim a(n) 乘 n 等于 1。极限是一个正有限数，因此该级数的表现与 p-级数 Σ 1/n 完全一致，后者发散，因为 p 小于等于 1。

答案. 所以答案是级数发散 (极限比较法，比较对象为 Σ 1/n). 当部分和趋于一个有限的数时，级数收敛。要做到这一点，各项必须趋于 0，但仅此并不足够（调和级数是发散的），所以要用比较判别法、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法或积分判别法来判断。

检验. 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ 等于 2.9289683，S₁₀₀ 等于 5.1873775，S₁₀₀₀ 等于 7.4854709，S₁₀₀₀₀ 等于 9.787606.

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