数列与级数代数大学≈ 1:59

计算 1/√(n) 从 n=1 到 ∞ 的和

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1. 题目
例题讲解
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
2. 逐步讲解
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
  写出级数
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$
  通项判别法
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \infty$
  与 p 级数作极限比较
3. 答案
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ \text{发散}$
comparison with Σ 1/n ⇒ diverges
4. 检验
- 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ = 5.0209979，S₁₀₀ = 18.589604，S₁₀₀₀ = 61.801009，S₁₀₀₀₀ = 198.54465

文字稿

题目. 题目是：计算 1/sqrt(n) 从 n 等于 1 到无穷大的和. 判断从 1 到 ∞) 的 Σ 1 / sqrt(n) (n 收敛还是发散。

逐步讲解. 写出级数. Σ a(n)，其中 n 等于 1, 2, 3, …，a(n) 等于 1 / sqrt(n)。前几项：1, 0.707107, 0.57735, 0.5, …. 通项判别法. lim a(n) 等于 0，所以发散判别法无法得出结论；各项确实在减小，因此需要更精细的判别法。与 p 级数作极限比较. 正项级数：改与 Σ 1/n 比较：lim a(n) 乘 n 等于 ∞。极限为 ∞，所以最终各项大于 1/n；该 p-级数发散 (p 小于等于 1)，所以此级数也发散。

答案. 所以答案是级数发散 (比较法，比较对象为 Σ 1/n). 当部分和趋于一个有限的数时，级数收敛。要做到这一点，各项必须趋于 0，但仅此并不足够（调和级数是发散的），所以要用比较判别法、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法或积分判别法来判断。

检验. 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ 等于 5.0209979，S₁₀₀ 等于 18.589604，S₁₀₀₀ 等于 61.801009，S₁₀₀₀₀ 等于 198.54465.

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