数列与级数代数大学≈ 1:54

计算 1/4ⁿ 从 n=1 到 ∞ 的和

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1. 题目
例题讲解
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}}$
2. 逐步讲解
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}}$
  写出级数
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{3}$
  识别等比级数
3. 答案
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{4}^{n}} \ \text{收敛} = \frac{1}{3}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/3
4. 检验
- 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ = 0.33333302，S₁₀₀ = 0.33333333，S₁₀₀₀ = 0.33333333，S₁₀₀₀₀ = 0.33333333

文字稿

题目. 题目是：计算 1 除以 4 的 n 次方从 n 等于 1 到无穷大的和. 判断从 1 到 ∞) 的 Σ 1 除以 4 的 n 次方 (n 收敛还是发散。

逐步讲解. 写出级数. Σ a(n)，其中 n 等于 1, 2, 3, …，a(n) 等于 1 除以 4 的 n 次方。前几项：0.25, 0.0625, 0.015625, 0.00390625, …. 识别等比级数. 每一项都等于前一项乘以 r 等于 1 除以 4（已对前 40 项检验），首项 a 等于 1 除以 4。由于 |r| 小于 1，该级数收敛，其和为 a/(1 减 r) 等于 1 除以 3 约等于 0.3333333333。

答案. 所以答案是级数收敛 (几何级数 (|r| 小于 1)); 和等于 1 除以 3. 当部分和趋于一个有限的数时，级数收敛。要做到这一点，各项必须趋于 0，但仅此并不足够（调和级数是发散的），所以要用比较判别法、比值判别法、根值判别法、交错级数判别法或积分判别法来判断。

检验. 部分和（佐证，并非证明）：S₁₀ 等于 0.33333302，S₁₀₀ 等于 0.33333333，S₁₀₀₀ 等于 0.33333333，S₁₀₀₀₀ 等于 0.33333333.

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