极限微积分大学≈ 2:09

求 lim x→0 sin(5x)/(2x)

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{2x}$
2. 逐步讲解
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{5\cos\left(5x\right)}{2}$
  未定式 0/0：使用洛必达法则
2. $\lim_{x \to 0} \frac{5\cos\left(5x\right)}{2} = \frac{5\cos\left(5\left(0\right)\right)}{2} = \frac{5}{2} \approx 2.5$
  直接代入
3. 答案
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(5x\right)}{2x} = \frac{5}{2} \approx 2.5$
lim x→0 sin(5 x) / (2 x) = 5/2 ≈ 2.5
4. 检验
- 右侧的数值结果一致：f(0.01) = 2.4989585, f(0.001) = 2.4999896, f(0.0001) = 2.4999999, f(0.00001) = 2.5 ✓
- 左侧的数值结果一致：f(-0.01) = 2.4989585, f(-0.001) = 2.4999896, f(-0.0001) = 2.4999999, f(-0.00001) = 2.5 ✓

文字稿

题目. 题目是：求 lim x- 大于 0 sin(5x)/(2x). 求 sin(5 x) / (2 x) 当 x → 0 时的极限。

逐步讲解. 未定式 0 除以 0：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。直接代入. 该式子在 x 等于 0 处连续，所以极限等于它在该点的函数值。

答案. 所以答案是极限等于 5 除以 2 约等于 2.5. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 右侧的数值结果一致：f(0.01) 等于 2.4989585, f(0.001) 等于 2.4999896, f(0.0001) 等于 2.4999999, f(0.00001) 等于 2.5，验证成立. 左侧的数值结果一致：f(负 0.01) 等于 2.4989585, f(负 0.001) 等于 2.4999896, f(负 0.0001) 等于 2.4999999, f(负 0.00001) 等于 2.5，验证成立.

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