极限微积分大学≈ 2:19

求 lim x→∞ x⁴e^(-x)

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1. 题目
例题讲解
$\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x}$
2. 步骤，第1部分
1. $\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x} = \lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{4}}{{e}^{x}}$
  未定式 0·∞：改写成商
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{4}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4{x}^{3}}{{e}^{x}}$
  未定式 ∞/∞：使用洛必达法则
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{4{x}^{3}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{12{x}^{2}}{{e}^{x}}$
  未定式 ∞/∞：使用洛必达法则
4. $\lim_{x \to \infty} \frac{12{x}^{2}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}}$
  未定式 ∞/∞：使用洛必达法则
3. 步骤，第2部分
1. $\lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}}$
  化简
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}}$
  未定式 ∞/∞：使用洛必达法则
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}}$
  化简
4. $\lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}} = 0$
  分子有界，分母无界
4. 答案
$\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x} = 0$
lim x→∞ x⁴ e^(-x) = 0
5. 检验
- 随着 x 增大，数值结果一致：f(127.18281) = 0, f(1271.8281) = 0, f(12718.281) = 0, f(127182.81) = 0 ✓

文字稿

题目. 题目是：求 lim x- 大于无穷大 x 的 4e 次方的负 x 次方. 求 x 的 4 次方 e 的负 x 次方当 x → ∞ 时的极限。

步骤，第1部分. 未定式 0 乘 ∞：改写成商. 把一个因子以倒数形式移到分母，就把 0 乘 ∞ 变成 0 除以 0 或 ∞/∞。未定式 ∞/∞：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。未定式 ∞/∞：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。未定式 ∞/∞：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。

步骤，第2部分. 化简. 未定式 ∞/∞：使用洛必达法则. 分子和分母分别求导（这不是商的求导法则）。化简. 分子有界，分母无界. 分子趋于 24，分母无界增长，所以商趋于 0。

答案. 所以答案是极限等于 0. 极限描述的是函数趋近的值，而不一定是函数取到的值。当代入得到未定式时，就改写式子（洛必达法则、乘以共轭式或取对数），直到能够代入为止。

检验. 随着 x 增大，数值结果一致：f(127.18281) 等于 0, f(1271.8281) 等于 0, f(12718.281) 等于 0, f(127182.81) 等于 0，验证成立.

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