不定积分微积分大学≈ 1:12

对 cos(x)³ 积分

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx$
2. 步骤，第1部分
1. $\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx$
  写出积分
2. $cos^{3}( x) = 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}+-1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{2}$
  奇次幂：写成 cos^3 u = cos u · (1 − sin² u)^1，然后代入 u = sin
3. $\int 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}\,dx = \int {u}^{0}\,du$
  代换 u = sin(x)，所以 du = (cos(x)) dx
4. $\int {u}^{0}\,du = u$
  幂函数积分法则：∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
3. 步骤，第2部分
1. $\int 1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{0}\,dx = \sin\left( x\right)$
  回代 u = sin(x)
2. $\int -1\cos\left( x\right) {\sin\left( x\right)}^{2}\,dx = -1\int {u}^{2}\,du$
  代换 u = sin(x)，所以 du = (cos(x)) dx
3. $\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx = \sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3}$
  逐项积分
4. $\int {\cos\left( x\right)}^{3}\,dx = \sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3} + C$
  化简并加上积分常数
4. 答案
$\sin\left( x\right)-\frac{{\sin\left( x\right)}^{3}}{3} + C$
∫ cos(x)³ dx = sin(x) - sin(x)³/3 + C
5. 检验
- 已对答案求导，并在 8 个样本点上与被积函数比较 ✓

文字稿

题目. 题目是：对 cos(x) 的立方积分. 求 cos(x) 的立方关于 x 的不定积分（原函数）。

步骤，第1部分. 写出积分. 奇次幂：写成 cos 的立方 u 等于 cos u 乘 (1 减 sin 的平方 u) 的 1 次方，然后代入 u 等于 sin. 代换 u 等于 sin(x)，所以 du 等于 (cos(x)) dx. 幂函数积分法则：积分 x 的 n 次方 dx 等于 x 的 n 加 1 次方/(n 加 1).

步骤，第2部分. 回代 u 等于 sin(x). 代换 u 等于 sin(x)，所以 du 等于 (cos(x)) dx. 逐项积分. 化简并加上积分常数.

答案. 所以答案是 sin(x) 减 sin(x) 的立方/3 加 C. 原函数 F 满足 F 的导数等于 f(x)。因为任何常数的导数都是 0，所有原函数之间只相差一个常数 C。

检验. 已对答案求导，并在 8 个样本点上与被积函数比较，验证成立.

屏幕上的步骤

文字稿

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