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定积分微积分大学≈ 1:17

对 x² - 4x + 3 从 0 到 3 积分

一节分步动画课程。点击播放，逐步观看并显示字幕；也可以阅读下方的步骤和文字稿。 答案: 0.

录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

英语视频： 下载 MP4 (0.5 MB) · 字幕 (WebVTT)：中文 · 英语字幕 (WebVTT)

屏幕上的步骤

  1. 1. 题目
    例题讲解
    ∫03x2−4x+3 dx\int_{0}^{3} {x}^{2}-4x+3\,dx
  2. 2. 步骤，第1部分
    1. ∫03x2−4x+3 dx\int_{0}^{3} {x}^{2}-4x+3\,dx
      写出定积分
    2. ∫x2 dx=x33\int {x}^{2}\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}
      幂函数积分法则：∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
    3. ∫x dx=x22\int x\,dx = \frac{{x}^{2}}{2}
      幂函数积分法则：∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
    4. ∫4x dx=2x2\int 4x\,dx = 2{x}^{2}
      常数倍法则：∫ k·f dx = k∫ f dx
  3. 3. 步骤，第2部分
    1. ∫x2−4x dx=x33−2x2\int {x}^{2}-4x\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}-2{x}^{2}
      和法则：逐项积分
    2. ∫3 dx=3x\int 3\,dx = 3x
      常数法则：∫ k dx = kx
    3. ∫x2−4x+3 dx=x33+3x−2x2\int {x}^{2}-4x+3\,dx = \frac{{x}^{3}}{3}+3x-2{x}^{2}
      和法则：逐项积分
    4. F(x)=x33+3x−2x2F(x) = \frac{{x}^{3}}{3}+3x-2{x}^{2}
      原函数
  4. 4. 步骤，第3部分
    1. F(3)−F(0)=0−0=0F(3) - F(0) = 0 - 0 = 0
      应用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
  5. 5. 答案
    ∫03x2−4x+3 dx=0\int_{0}^{3} {x}^{2}-4x+3\,dx = 0

    ∫ from 0 to 3 = 0

  6. 6. 检验
    • 已对原函数求导并与被积函数比较 ✓
    • 自适应辛普森法给出 0 ✓

文字稿

题目. 题目是：对 x 的平方 减 4x 加 3 从 0 到 3 积分. 计算 x 的平方 减 4 x 加 3 从 x 等于 0 到 x 等于 3 的定积分。

步骤，第1部分. 写出定积分. 幂函数积分法则： 积分 x 的 n 次方 dx 等于 x 的 n 加 1 次方/(n 加 1). 幂函数积分法则： 积分 x 的 n 次方 dx 等于 x 的 n 加 1 次方/(n 加 1). 常数倍法则： 积分 k 乘 f dx 等于 k 积分 f dx.

步骤，第2部分. 和法则：逐项积分. 常数法则： 积分 k dx 等于 kx. 和法则：逐项积分. 原函数.

步骤，第3部分. 应用微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）.

答案. 所以答案是 0. 定积分给出曲线与 x 轴之间的有向面积：轴上方的面积记为正，轴下方的面积记为负。

检验. 已对原函数求导并与被积函数比较，验证成立. 自适应辛普森法给出 0，验证成立.

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