三角方程三角学高中≈ 1:25

求解 sin(x/2) = 1/2

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录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

1. 题目
例题讲解
$\sin\left(\frac{ x}{2}\right) = \frac{1}{2}$
2. 步骤，第1部分
1. $\sin\left(\frac{ x}{2}\right) = \frac{1}{2}$
  从方程出发
2. $f(x) = \sin\left(\frac{ x}{2}\right)+\frac{-1}{2} = 0$
  改写为 f(x) = 0
3. 左侧每隔 4π 重复一次，所以求出一个周期内的解
4. $x = \frac{\pi}{3},\ x = \frac{5\pi}{3}$
  一个周期内的解 [0, 4π)
3. 步骤，第2部分
1. $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k,\quad x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$
  加上任意整数个周期
4. 答案
$x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k,\ x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
x = π/3 + 4πk, x = 5π/3 + 4πk (k any integer)
5. 检验
- x = 1.0471976：左边 = 0.5，右边 = 0.5 ✓
- x = 5.2359878：左边 = 0.5，右边 = 0.5 ✓

题目. 题目是：sin(x/2) 等于 1 除以 2. 关于 x 的周期方程：它有无穷多个解，每个周期内的一个解对应一个解族。

步骤，第1部分. 从方程出发. 改写为 f(x) 等于 0. 左侧每隔 4派重复一次，所以求出一个周期内的解. f(x 加 4派) 等于 f(x) 对每个 x 都成立，所以每个解都是 [0, 4派) 中的解加上整数个周期。一个周期内的解 [0, 4派).

步骤，第2部分. 加上任意整数个周期.

答案. 所以答案是 x 等于派/3 加 4派k, x 等于 5派/3 加 4派k (k 任意整数). 每个周期内的解均通过数值方法求得，匹配到精确值并经代入确认；加上整数个周期即可得到所有解。

检验. x 等于 1.0471976：左边等于 0.5，右边等于 0.5，验证成立. x 等于 5.2359878：左边等于 0.5，右边等于 0.5，验证成立.