方程组代数高中≈ 1:36

解方程组 -2x - 2y - 3z = -22, -x + 2y + z = 2, 2x - 3y - 3z = -7

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1. 题目
例题讲解
$\begin{cases} -2x-2y-3z = -22 \\ - x+2y+ z = 2 \\ 2x-3y-3z = -7 \end{cases}$
2. 步骤，第1部分
1. $\begin{cases} -2x - 2y - 3z = -22 \\ -x + 2y + z = 2 \\ 2x - 3y - 3z = -7 \end{cases}$
  把每个方程写成标准形式
2. $\begin{bmatrix}-2 & -2 & -3 & -22 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -3 & -7\end{bmatrix}$
  构造增广矩阵 [A | b]
3. 高斯–若尔当消元法
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{-2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & \frac{3}{2} & 11 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -3 & -7\end{bmatrix}$
  R1 除以 -2
3. 步骤，第2部分
1. $R_{2} \to R_{2} + 1R_{1},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & \frac{3}{2} & 11 \\ 0 & 3 & \frac{5}{2} & 13 \\ 0 & -5 & -6 & -29\end{bmatrix}$
  用 R1 中的主元消去 1 列
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{3} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & \frac{3}{2} & 11 \\ 0 & 1 & \frac{5}{6} & \frac{13}{3} \\ 0 & -5 & -6 & -29\end{bmatrix}$
  R2 除以 3
3. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 5R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{20}{3} \\ 0 & 1 & \frac{5}{6} & \frac{13}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{11}{6} & -\frac{22}{3}\end{bmatrix}$
  用 R2 中的主元消去 2 列
4. $R_{3} \to \tfrac{1}{-\frac{11}{6}} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{20}{3} \\ 0 & 1 & \frac{5}{6} & \frac{13}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix}$
  R3 除以 -11/6
4. 步骤，第3部分
1. $R_{1} \to R_{1} - \frac{2}{3} R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - \frac{5}{6} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix}$
  用 R3 中的主元消去 3 列
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix}$
  简化行阶梯形
3. $x = 4,\ y = 1,\ z = 4$
  读出唯一解
5. 答案
$x = 4,\ y = 1,\ z = 4$
-2x - 2y - 3z = -22; -x + 2y + z = 2; 2x - 3y - 3z = -7 ⇒ x = 4, y = 1, z = 4
6. 检验
- 方程 1：-2x - 2y - 3z = -22 ✓
- 方程 2：-x + 2y + z = 2 ✓
- 方程 3：2x - 3y - 3z = -7 ✓

文字稿

题目. 题目是：解方程组负 2x 减 2y 减 3z 等于负 22, 负 x 加 2y 加 z 等于 2, 2x 减 3y 减 3z 等于负 7. 含 3 个未知数 (x, y, z) 的 3 个线性方程。

步骤，第1部分. 把每个方程写成标准形式. 把所有含变量的项移到左边，常数移到右边。构造增广矩阵 [A | b]. 各列：x, y, z | 常数。高斯–若尔当消元法. 用初等行变换使每个主元为 1，并消去该列的其他元素。 R1 除以负 2.

步骤，第2部分. 用 R1 中的主元消去 1 列. R2 除以 3. 用 R2 中的主元消去 2 列. R3 除以负 11 除以 6.

步骤，第3部分. 用 R3 中的主元消去 3 列. 简化行阶梯形. 读出唯一解.

答案. 所以答案是 x 等于 4, y 等于 1, z 等于 4. 方程组恰有一个解；代回后每个方程都成立。

检验. 方程 1：-2x 减 2y 减 3z 等于负 22，验证成立. 方程 2：-x 加 2y 加 z 等于 2，验证成立. 方程 3：2x 减 3y 减 3z 等于负 7，验证成立.

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