方程组代数高中≈ 1:31

解方程组 -2x + y + z = -1, 3x - y + 2z = 9, 3y + 3z = 9

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
$\begin{cases} -2x+ y+ z = -1 \\ 3x- y+2z = 9 \\ 3y+3z = 9 \end{cases}$
2. 步骤，第1部分
1. $\begin{cases} -2x + y + z = -1 \\ 3x - y + 2z = 9 \\ 3y + 3z = 9 \end{cases}$
  把每个方程写成标准形式
2. $\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 2 & 9 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  构造增广矩阵 [A | b]
3. 高斯–若尔当消元法
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{-2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 & -1 & 2 & 9 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  R1 除以 -2
3. 步骤，第2部分
1. $R_{2} \to R_{2} - 3R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & \frac{15}{2} \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  用 R1 中的主元消去 1 列
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{\frac{1}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  R2 除以 1/2
3. $R_{1} \to R_{1} + \frac{1}{2} R_{2},\ R_{3} \to R_{3} - 3R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & -18 & -36\end{bmatrix}$
  用 R2 中的主元消去 2 列
4. $R_{3} \to \tfrac{1}{-18} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  R3 除以 -18
4. 步骤，第3部分
1. $R_{1} \to R_{1} - 3R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 7R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  用 R3 中的主元消去 3 列
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  简化行阶梯形
3. $x = 2,\ y = 1,\ z = 2$
  读出唯一解
5. 答案
$x = 2,\ y = 1,\ z = 2$
-2x + y + z = -1; 3x - y + 2z = 9; 3y + 3z = 9 ⇒ x = 2, y = 1, z = 2
6. 检验
- 方程 1：-2x + y + z = -1 ✓
- 方程 2：3x - y + 2z = 9 ✓
- 方程 3：3y + 3z = 9 ✓

文字稿

题目. 题目是：解方程组负 2x 加 y 加 z 等于负 1, 3x 减 y 加 2z 等于 9, 3y 加 3z 等于 9. 含 3 个未知数 (x, y, z) 的 3 个线性方程。

步骤，第1部分. 把每个方程写成标准形式. 把所有含变量的项移到左边，常数移到右边。构造增广矩阵 [A | b]. 各列：x, y, z | 常数。高斯–若尔当消元法. 用初等行变换使每个主元为 1，并消去该列的其他元素。 R1 除以负 2.

步骤，第2部分. 用 R1 中的主元消去 1 列. R2 除以 1 除以 2. 用 R2 中的主元消去 2 列. R3 除以负 18.

步骤，第3部分. 用 R3 中的主元消去 3 列. 简化行阶梯形. 读出唯一解.

答案. 所以答案是 x 等于 2, y 等于 1, z 等于 2. 方程组恰有一个解；代回后每个方程都成立。

检验. 方程 1：-2x 加 y 加 z 等于负 1，验证成立. 方程 2：3x 减 y 加 2z 等于 9，验证成立. 方程 3：3y 加 3z 等于 9，验证成立.

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