高次方程代数高中≈ 1:51

求解 x³ + 3x² - 6x - 18 = 0

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录制视频：视频中的语音和板书均为英语。字幕：中文。如需该语言的旁白，请打开互动版本。

1. 题目
例题讲解
${ x}^{3}+3~{ x}^{2}-6~ x-18 = 0$
2. 步骤，第1部分
1. ${ x}^{3}+3~{ x}^{2}-6~ x-18 = 0$
  从方程出发
2. $x^{3} + 3x^{2} - 6x - 18 = 0$
  把所有项移到一边
3. $x^{2} - 6 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = -3 是一个根
4. $x^{2} - 6 = 0$
  求解剩余的二次方程
3. 步骤，第2部分
1. $\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 24$
  计算判别式
2. Δ > 0，所以有两个不相等的实数根
3. $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{0 \pm \sqrt{24}}{2}$
  代入求根公式
4. $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$
  化简平方根
4. 步骤，第3部分
1. $x = \pm \sqrt{6}$
  约分
2. $x = -3,\quad x = - \sqrt{6} \approx -2.4494897,\quad x = \sqrt{6} \approx 2.4494897$
  汇总实数解
5. 看图像
每个解都是图像穿过零的位置。
6. 答案
$x = -3,\ x = - \sqrt{6} \approx -2.4494897,\ x = \sqrt{6} \approx 2.4494897$
x = -3, x = - √6 ≈ -2.4494897, x = √6 ≈ 2.4494897
7. 检验
- x = -3：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = -2.4494897：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 2.4494897：左边 = 0，右边 = 0 ✓

题目. 题目是：x 的立方加 3x 的平方减 6x 减 18 等于 0. 关于 x 的 3 次多项式方程。

步骤，第1部分. 从方程出发. 把所有项移到一边. 用有理根定理检验候选值：x 等于负 3 是一个根. 用 (x 加 3) 进行综合除法，剩下一个 2 次多项式。求解剩余的二次方程.

步骤，第2部分. 计算判别式. 德尔塔大于 0，所以有两个不相等的实数根. 代入求根公式. 化简平方根.

步骤，第3部分. 约分. 汇总实数解.

看图像. 现在看左边减右边的图像。它恰好在我们求出的解处穿过零。

答案. 所以答案是 x 等于负 3, x 等于减根号 6 约等于负 2.4494897, x 等于根号 6 约等于 2.4494897. 3 次多项式按重数计算恰好有 3 个根（其中一些可能是复数）。先求出精确的有理根，其余的根再精确求解或近似计算。

检验. x 等于负 3：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于负 2.4494897：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 2.4494897：左边等于 0，右边等于 0，验证成立.