高次方程代数高中≈ 1:41

求解 x³ + 5x² - 4x - 20 = 0

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1. 题目
例题讲解
${ x}^{3}+5~{ x}^{2}-4~ x-20 = 0$
2. 步骤，第1部分
1. ${ x}^{3}+5~{ x}^{2}-4~ x-20 = 0$
  从方程出发
2. $x^{3} + 5x^{2} - 4x - 20 = 0$
  把所有项移到一边
3. $x^{2} - 4 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = -5 是一个根
4. $x - 2 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = -2 是一个根
3. 步骤，第2部分
1. 用有理根定理检验候选值：x = 2 是一个根
2. $x = -5,\quad x = -2,\quad x = 2$
  汇总实数解
4. 看图像
每个解都是图像穿过零的位置。
5. 答案
$x = -5,\ x = -2,\ x = 2$
x = -5, x = -2, x = 2
6. 检验
- x = -5：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = -2：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 2：左边 = 0，右边 = 0 ✓

题目. 题目是：x 的立方加 5x 的平方减 4x 减 20 等于 0. 关于 x 的 3 次多项式方程。

步骤，第1部分. 从方程出发. 把所有项移到一边. 用有理根定理检验候选值：x 等于负 5 是一个根. 用 (x 加 5) 进行综合除法，剩下一个 2 次多项式。用有理根定理检验候选值：x 等于负 2 是一个根. 用 (x 加 2) 进行综合除法，剩下一个 1 次多项式。

步骤，第2部分. 用有理根定理检验候选值：x 等于 2 是一个根. 用 (x 减 2) 进行综合除法，剩下一个 0 次多项式。汇总实数解.

看图像. 现在看左边减右边的图像。它恰好在我们求出的解处穿过零。

答案. 所以答案是 x 等于负 5, x 等于负 2, x 等于 2. 3 次多项式按重数计算恰好有 3 个根（其中一些可能是复数）。先求出精确的有理根，其余的根再精确求解或近似计算。

检验. x 等于负 5：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于负 2：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 2：左边等于 0，右边等于 0，验证成立.