高次方程代数高中≈ 2:02

求解 x⁵ - 5x³ + 4x = 0

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屏幕上的步骤

1. 题目
例题讲解
${ x}^{5}-5~{ x}^{3}+4~ x = 0$
2. 步骤，第1部分
1. ${ x}^{5}-5~{ x}^{3}+4~ x = 0$
  从方程出发
2. $x^{5} - 5x^{3} + 4x = 0$
  把所有项移到一边
3. $x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = 0 是一个根
4. $x^{3} - 2x^{2} - x + 2 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = -2 是一个根
3. 步骤，第2部分
1. $x^{2} - 3x + 2 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = -1 是一个根
2. $x - 2 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = 1 是一个根
3. 用有理根定理检验候选值：x = 2 是一个根
4. $x = -2,\quad x = -1,\quad x = 0,\quad x = 1,\quad x = 2$
  汇总实数解
4. 答案
$x = -2,\ x = -1,\ x = 0,\ x = 1,\ x = 2$
x = -2, x = -1, x = 0, x = 1, x = 2
5. 检验
- x = -2：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = -1：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 0：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 1：左边 = 0，右边 = 0 ✓

文字稿

题目. 题目是：x 的 5 次方减 5x 的立方加 4x 等于 0. 关于 x 的 5 次多项式方程。

步骤，第1部分. 从方程出发. 把所有项移到一边. 用有理根定理检验候选值：x 等于 0 是一个根. 用 (x 减 0) 进行综合除法，剩下一个 4 次多项式。用有理根定理检验候选值：x 等于负 2 是一个根. 用 (x 加 2) 进行综合除法，剩下一个 3 次多项式。

步骤，第2部分. 用有理根定理检验候选值：x 等于负 1 是一个根. 用 (x 加 1) 进行综合除法，剩下一个 2 次多项式。用有理根定理检验候选值：x 等于 1 是一个根. 用 (x 减 1) 进行综合除法，剩下一个 1 次多项式。用有理根定理检验候选值：x 等于 2 是一个根. 用 (x 减 2) 进行综合除法，剩下一个 0 次多项式。汇总实数解.

答案. 所以答案是 x 等于负 2, x 等于负 1, x 等于 0, x 等于 1, x 等于 2. 五次多项式恰好有 5 个根（计重数，部分可能是复数）。先求出精确的有理根，其余的再精确求解或近似求解。

检验. x 等于负 2：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于负 1：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 0：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 1：左边等于 0，右边等于 0，验证成立.

屏幕上的步骤

文字稿

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