高次方程代数高中≈ 2:00

求解 x⁴ - 10x² + 9 = 0

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1. 题目
例题讲解
${ x}^{4}-10~{ x}^{2}+9 = 0$
2. 步骤，第1部分
1. ${ x}^{4}-10~{ x}^{2}+9 = 0$
  从方程出发
2. $x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0$
  把所有项移到一边
3. $x^{3} - 3x^{2} - x + 3 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = -3 是一个根
4. $x^{2} - 4x + 3 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = -1 是一个根
3. 步骤，第2部分
1. $x - 3 = 0$
  用有理根定理检验候选值：x = 1 是一个根
2. 用有理根定理检验候选值：x = 3 是一个根
3. $x = -3,\quad x = -1,\quad x = 1,\quad x = 3$
  汇总实数解
4. 看图像
每个解都是图像穿过零的位置。
5. 答案
$x = -3,\ x = -1,\ x = 1,\ x = 3$
x = -3, x = -1, x = 1, x = 3
6. 检验
- x = -3：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = -1：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 1：左边 = 0，右边 = 0 ✓
- x = 3：左边 = 0，右边 = 0 ✓

题目. 题目是：x 的 4 次方减 10x 的平方加 9 等于 0. 关于 x 的 4 次多项式方程。

步骤，第1部分. 从方程出发. 把所有项移到一边. 用有理根定理检验候选值：x 等于负 3 是一个根. 用 (x 加 3) 进行综合除法，剩下一个 3 次多项式。用有理根定理检验候选值：x 等于负 1 是一个根. 用 (x 加 1) 进行综合除法，剩下一个 2 次多项式。

步骤，第2部分. 用有理根定理检验候选值：x 等于 1 是一个根. 用 (x 减 1) 进行综合除法，剩下一个 1 次多项式。用有理根定理检验候选值：x 等于 3 是一个根. 用 (x 减 3) 进行综合除法，剩下一个 0 次多项式。汇总实数解.

看图像. 现在看左边减右边的图像。它恰好在我们求出的解处穿过零。

答案. 所以答案是 x 等于负 3, x 等于负 1, x 等于 1, x 等于 3. 四次多项式恰好有 4 个根（计重数，部分可能是复数）。先求出精确的有理根，其余的再精确求解或近似求解。

检验. x 等于负 3：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于负 1：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 1：左边等于 0，右边等于 0，验证成立. x 等于 3：左边等于 0，右边等于 0，验证成立.