Ausmultiplizieren und FaktorisierenAlgebraOberstufe≈ 1:15

Faktorisiere 8x³ - 27

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$8x^{3} - 27$
2. Schritte, Teil 1
1. $8x^{3} - 27$
  Das Polynom in geordneter Normalform schreiben
2. Ein besonderes Muster erkennen
3. Den Satz über rationale Nullstellen anwenden
4. $8x^{3} - 27 = (2x - 3)\left(4x^{2} + 6x + 9\right)$
  Durch (2x - 3) teilen, mit dem Horner-Schema bei x = 3/2
3. Schritte, Teil 2
1. Den verbleibenden quadratischen Faktor prüfen
2. $(2x - 3)(4x^{2} + 6x + 9)$
  Die vollständige Faktorisierung schreiben
4. Die Antwort
$(2x - 3)(4x^{2} + 6x + 9)$
8x^3 - 27 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)
5. Probe
- Ausmultiplizieren von (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) ergibt wieder 8x^3 - 27.

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: 8x hoch drei minus 27. Ein Polynom über den rationalen Zahlen faktorisieren.

Schritte, Teil 1. Das Polynom in geordneter Normalform schreiben. Ein besonderes Muster erkennen. Der verbleibende Faktor ist eine Differenz von Kuben: a hoch drei minus b hoch drei gleich (a minus b)(a hoch zwei plus ab plus b hoch zwei). Den Satz über rationale Nullstellen anwenden. Jede rationale Nullstelle p/q hat p als Teiler des konstanten Terms minus 27 und q als Teiler des Leitkoeffizienten 8. Das Testen dieser Kandidaten ergibt die Nullstelle 3 durch 2. Durch (2x minus 3) teilen, mit dem Horner-Schema bei x gleich 3 durch 2.

Schritte, Teil 2. Den verbleibenden quadratischen Faktor prüfen. Seine Diskriminante ist minus 108, also negativ, deshalb ist er über den rationalen Zahlen irreduzibel. Die vollständige Faktorisierung schreiben.

Die Antwort. Die Antwort lautet also (2x minus 3)(4x hoch zwei plus 6x plus 9). 8x hoch drei minus 27 zerfällt über den rationalen Zahlen vollständig in (2x minus 3)(4x hoch zwei plus 6x plus 9).

Probe. Ausmultiplizieren von (2x minus 3)(4x hoch zwei plus 6x plus 9) ergibt wieder 8x hoch drei minus 27.

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