GleichungssystemeAlgebraOberstufe≈ 1:36

Löse das System -2x - 2y - 3z = -22, -x + 2y + z = 2, 2x - 3y - 3z = -7

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\begin{cases} -2x-2y-3z = -22 \\ - x+2y+ z = 2 \\ 2x-3y-3z = -7 \end{cases}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\begin{cases} -2x - 2y - 3z = -22 \\ -x + 2y + z = 2 \\ 2x - 3y - 3z = -7 \end{cases}$
  Jede Gleichung in Normalform schreiben
2. $\begin{bmatrix}-2 & -2 & -3 & -22 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -3 & -7\end{bmatrix}$
  Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen
3. Gauß-Jordan-Verfahren
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{-2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & \frac{3}{2} & 11 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -3 & -7\end{bmatrix}$
  R1 durch -2 teilen
3. Schritte, Teil 2
1. $R_{2} \to R_{2} + 1R_{1},\ R_{3} \to R_{3} - 2R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & \frac{3}{2} & 11 \\ 0 & 3 & \frac{5}{2} & 13 \\ 0 & -5 & -6 & -29\end{bmatrix}$
  Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{3} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 1 & \frac{3}{2} & 11 \\ 0 & 1 & \frac{5}{6} & \frac{13}{3} \\ 0 & -5 & -6 & -29\end{bmatrix}$
  R2 durch 3 teilen
3. $R_{1} \to R_{1} - 1R_{2},\ R_{3} \to R_{3} + 5R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{20}{3} \\ 0 & 1 & \frac{5}{6} & \frac{13}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{11}{6} & -\frac{22}{3}\end{bmatrix}$
  Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren
4. $R_{3} \to \tfrac{1}{-\frac{11}{6}} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{20}{3} \\ 0 & 1 & \frac{5}{6} & \frac{13}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix}$
  R3 durch -11/6 teilen
4. Schritte, Teil 3
1. $R_{1} \to R_{1} - \frac{2}{3} R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - \frac{5}{6} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix}$
  Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{bmatrix}$
  Reduzierte Zeilenstufenform
3. $x = 4,\ y = 1,\ z = 4$
  Die eindeutige Lösung ablesen
5. Die Antwort
$x = 4,\ y = 1,\ z = 4$
-2x - 2y - 3z = -22; -x + 2y + z = 2; 2x - 3y - 3z = -7 ⇒ x = 4, y = 1, z = 4
6. Probe
- Gleichung 1: -2x - 2y - 3z = -22 ✓
- Gleichung 2: -x + 2y + z = 2 ✓
- Gleichung 3: 2x - 3y - 3z = -7 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Löse das System minus 2x minus 2y minus 3z gleich minus 22, minus x plus 2y plus z gleich 2, 2x minus 3y minus 3z gleich minus 7. 3 lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten (x, y, z).

Schritte, Teil 1. Jede Gleichung in Normalform schreiben. Alle Terme mit Variablen nach links und die Konstanten nach rechts bringen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen. Spalten: x, y, z | Konstante. Gauß-Jordan-Verfahren. Mit Zeilenumformungen jedes Pivotelement zu 1 machen und den Rest seiner Spalte eliminieren. R1 durch minus 2 teilen.

Schritte, Teil 2. Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren. R2 durch 3 teilen. Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren. R3 durch minus 11 durch 6 teilen.

Schritte, Teil 3. Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren. Reduzierte Zeilenstufenform. Die eindeutige Lösung ablesen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich 4, y gleich 1, z gleich 4. Das System hat genau eine Lösung; setzt man sie ein, ist jede Gleichung erfüllt.

Probe. Gleichung 1: minus 2x minus 2y minus 3z gleich minus 22, das stimmt. Gleichung 2: minus x plus 2y plus z gleich 2, das stimmt. Gleichung 3: 2x minus 3y minus 3z gleich minus 7, das stimmt.

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