GleichungssystemeAlgebraOberstufe≈ 1:31

Löse das System -2x + y + z = -1, 3x - y + 2z = 9, 3y + 3z = 9

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\begin{cases} -2x+ y+ z = -1 \\ 3x- y+2z = 9 \\ 3y+3z = 9 \end{cases}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\begin{cases} -2x + y + z = -1 \\ 3x - y + 2z = 9 \\ 3y + 3z = 9 \end{cases}$
  Jede Gleichung in Normalform schreiben
2. $\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 2 & 9 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen
3. Gauß-Jordan-Verfahren
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{-2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 3 & -1 & 2 & 9 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  R1 durch -2 teilen
3. Schritte, Teil 2
1. $R_{2} \to R_{2} - 3R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & \frac{15}{2} \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{\frac{1}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 3 & 3 & 9\end{bmatrix}$
  R2 durch 1/2 teilen
3. $R_{1} \to R_{1} + \frac{1}{2} R_{2},\ R_{3} \to R_{3} - 3R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & -18 & -36\end{bmatrix}$
  Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren
4. $R_{3} \to \tfrac{1}{-18} R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 3 & 8 \\ 0 & 1 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  R3 durch -18 teilen
4. Schritte, Teil 3
1. $R_{1} \to R_{1} - 3R_{3},\ R_{2} \to R_{2} - 7R_{3}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren
2. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$
  Reduzierte Zeilenstufenform
3. $x = 2,\ y = 1,\ z = 2$
  Die eindeutige Lösung ablesen
5. Die Antwort
$x = 2,\ y = 1,\ z = 2$
-2x + y + z = -1; 3x - y + 2z = 9; 3y + 3z = 9 ⇒ x = 2, y = 1, z = 2
6. Probe
- Gleichung 1: -2x + y + z = -1 ✓
- Gleichung 2: 3x - y + 2z = 9 ✓
- Gleichung 3: 3y + 3z = 9 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Löse das System minus 2x plus y plus z gleich minus 1, 3x minus y plus 2z gleich 9, 3y plus 3z gleich 9. 3 lineare Gleichungen mit 3 Unbekannten (x, y, z).

Schritte, Teil 1. Jede Gleichung in Normalform schreiben. Alle Terme mit Variablen nach links und die Konstanten nach rechts bringen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen. Spalten: x, y, z | Konstante. Gauß-Jordan-Verfahren. Mit Zeilenumformungen jedes Pivotelement zu 1 machen und den Rest seiner Spalte eliminieren. R1 durch minus 2 teilen.

Schritte, Teil 2. Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren. R2 durch 1 durch 2 teilen. Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren. R3 durch minus 18 teilen.

Schritte, Teil 3. Spalte 3 mit dem Pivotelement in R3 eliminieren. Reduzierte Zeilenstufenform. Die eindeutige Lösung ablesen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich 2, y gleich 1, z gleich 2. Das System hat genau eine Lösung; setzt man sie ein, ist jede Gleichung erfüllt.

Probe. Gleichung 1: minus 2x plus y plus z gleich minus 1, das stimmt. Gleichung 2: 3x minus y plus 2z gleich 9, das stimmt. Gleichung 3: 3y plus 3z gleich 9, das stimmt.

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