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Aufgabe lösen
GleichungssystemeAlgebraOberstufe≈ 1:12

Löse das System 5x - 4y = -5, 4x - 8y = 20

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: x = -5, y = -5.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.5 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    {5x−4y=−54x−8y=20\begin{cases} 5x-4y = -5 \\ 4x-8y = 20 \end{cases}
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. {5x−4y=−54x−8y=20\begin{cases} 5x - 4y = -5 \\ 4x - 8y = 20 \end{cases}
      Jede Gleichung in Normalform schreiben
    2. [5−4−54−820]\begin{bmatrix}5 & -4 & -5 \\ 4 & -8 & 20\end{bmatrix}
      Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen
    3. Gauß-Jordan-Verfahren
    4. R1→15R1: [1−45−14−820]R_{1} \to \tfrac{1}{5} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{4}{5} & -1 \\ 4 & -8 & 20\end{bmatrix}
      R1 durch 5 teilen
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. R2→R2−4R1: [1−45−10−24524]R_{2} \to R_{2} - 4R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{4}{5} & -1 \\ 0 & -\frac{24}{5} & 24\end{bmatrix}
      Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
    2. R2→1−245R2: [1−45−101−5]R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{24}{5}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{4}{5} & -1 \\ 0 & 1 & -5\end{bmatrix}
      R2 durch -24/5 teilen
    3. R1→R1+45R2: [10−501−5]R_{1} \to R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & -5\end{bmatrix}
      Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren
    4. [10−501−5]\begin{bmatrix}1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & -5\end{bmatrix}
      Reduzierte Zeilenstufenform
  4. 4. Schritte, Teil 3
    1. x=−5, y=−5x = -5,\ y = -5
      Die eindeutige Lösung ablesen
  5. 5. Die Antwort
    x=−5, y=−5x = -5,\ y = -5

    5x - 4y = -5; 4x - 8y = 20 ⇒ x = -5, y = -5

  6. 6. Probe
    • Gleichung 1: 5x - 4y = -5 ✓
    • Gleichung 2: 4x - 8y = 20 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Löse das System 5x minus 4y gleich minus 5, 4x minus 8y gleich 20. 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten (x, y).

Schritte, Teil 1. Jede Gleichung in Normalform schreiben. Alle Terme mit Variablen nach links und die Konstanten nach rechts bringen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen. Spalten: x, y | Konstante. Gauß-Jordan-Verfahren. Mit Zeilenumformungen jedes Pivotelement zu 1 machen und den Rest seiner Spalte eliminieren. R1 durch 5 teilen.

Schritte, Teil 2. Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren. R2 durch minus 24 durch 5 teilen. Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren. Reduzierte Zeilenstufenform.

Schritte, Teil 3. Die eindeutige Lösung ablesen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich minus 5, y gleich minus 5. Das System hat genau eine Lösung; setzt man sie ein, ist jede Gleichung erfüllt.

Probe. Gleichung 1: 5x minus 4y gleich minus 5, das stimmt. Gleichung 2: 4x minus 8y gleich 20, das stimmt.

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Löse das System 5x - 4y = -5, 4x - 8y = 20: Videolektion Schritt für Schritt