GleichungssystemeAlgebraOberstufe≈ 1:15

Löse das System 7x - 8y = -45/2, 5x - 1y = -9

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1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\begin{cases} 7x-8y = \frac{-45}{2} \\ 5x-1y = -9 \end{cases}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\begin{cases} 7x - 8y = -\frac{45}{2} \\ 5x - y = -9 \end{cases}$
  Jede Gleichung in Normalform schreiben
2. $\begin{bmatrix}7 & -8 & -\frac{45}{2} \\ 5 & -1 & -9\end{bmatrix}$
  Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen
3. Gauß-Jordan-Verfahren
4. $R_{1} \to \tfrac{1}{7} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{8}{7} & -\frac{45}{14} \\ 5 & -1 & -9\end{bmatrix}$
  R1 durch 7 teilen
3. Schritte, Teil 2
1. $R_{2} \to R_{2} - 5R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{8}{7} & -\frac{45}{14} \\ 0 & \frac{33}{7} & \frac{99}{14}\end{bmatrix}$
  Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren
2. $R_{2} \to \tfrac{1}{\frac{33}{7}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & -\frac{8}{7} & -\frac{45}{14} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$
  R2 durch 33/7 teilen
3. $R_{1} \to R_{1} + \frac{8}{7} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$
  Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren
4. $\begin{bmatrix}1 & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$
  Reduzierte Zeilenstufenform
4. Schritte, Teil 3
1. $x = -\frac{3}{2},\ y = \frac{3}{2}$
  Die eindeutige Lösung ablesen
5. Die Antwort
$x = -\frac{3}{2},\ y = \frac{3}{2}$
7x - 8y = -45/2; 5x - y = -9 ⇒ x = -3/2, y = 3/2
6. Probe
- Gleichung 1: 7x - 8y = -45/2 ✓
- Gleichung 2: 5x - y = -9 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Löse das System 7x minus 8y gleich minus 45 durch 2, 5x minus 1y gleich minus 9. 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten (x, y).

Schritte, Teil 1. Jede Gleichung in Normalform schreiben. Alle Terme mit Variablen nach links und die Konstanten nach rechts bringen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix [A | b] aufstellen. Spalten: x, y | Konstante. Gauß-Jordan-Verfahren. Mit Zeilenumformungen jedes Pivotelement zu 1 machen und den Rest seiner Spalte eliminieren. R1 durch 7 teilen.

Schritte, Teil 2. Spalte 1 mit dem Pivotelement in R1 eliminieren. R2 durch 33 durch 7 teilen. Spalte 2 mit dem Pivotelement in R2 eliminieren. Reduzierte Zeilenstufenform.

Schritte, Teil 3. Die eindeutige Lösung ablesen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich minus 3 durch 2, y gleich 3 durch 2. Das System hat genau eine Lösung; setzt man sie ein, ist jede Gleichung erfüllt.

Probe. Gleichung 1: 7x minus 8y gleich minus 45 durch 2, das stimmt. Gleichung 2: 5x minus y gleich minus 9, das stimmt.

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