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Resolver un problema
Integrales definidasCálculoUniversidad≈ 1:18

Integral definida de e^(-2x) desde 0 hasta ∞

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: Converge: 1/2 ≈ 0.5.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.5 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    ∫0∞e−2x dx\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. Se trata de una integral impropia
    2. ∫e−2x dx=−12e2x\int {e}^{-2x}\,dx = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}
      Regla exponencial: ∫ eᵘ du = eᵘ (dividir entre la pendiente interna)
    3. F(x)=−12e2xF(x) = \frac{-\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}
      Primitiva
    4. lim⁡x→∞F(x)=0,F(0)=−12≈−0.5\lim_{x \to \infty} F(x) = 0,\quad F(0) = -\frac{1}{2} \approx -0.5
      Calcular el tramo entre 0 e infinito
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. ∫0∞e−2x dx=12≈0.5\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5
      Sumar los tramos
  4. 4. La respuesta
    ∫0∞e−2x dx=12≈0.5\int_{0}^{\infty} {e}^{-2x}\,dx = \frac{1}{2} \approx 0.5

    Converges to 1/2 ≈ 0.5

  5. 5. Comprobación
    • Primitiva verificada derivando ✓
    • Cada límite de la primitiva se ha calculado y comprobado numéricamente con el motor de límites ✓
    • Estimación numérica truncada (deteniéndose a 10⁻⁶ de las asíntotas y en ±1000 para los límites infinitos): 0.5

Transcripción

El problema. Este es el problema: Integral definida de e elevado a menos 2x desde 0 hasta infinito. Calcular la integral impropia de e elevado a menos 2 x) desde 0 hasta inf.

Pasos, parte 1. Se trata de una integral impropia. Es impropia porque un límite de integración es infinito. Se define como un límite y solo converge si todos los límites son finitos. Regla exponencial: la integral de eᵘ du es igual a eᵘ (dividir entre la pendiente interna). Primitiva. Calcular el tramo entre 0 e infinito.

Pasos, parte 2. Sumar los tramos. Todos los límites son finitos, así que la integral converge.

La respuesta. Entonces, la respuesta es Converge: 1 entre 2 aproximadamente 0.5. Una integral impropia sustituye el punto problemático por una variable, integra de la forma habitual y después toma un límite. Si el límite es finito, la región infinita tiene, aun así, área finita.

Comprobación. Primitiva verificada derivando, y se cumple. Cada límite de la primitiva se ha calculado y comprobado numéricamente con el motor de límites, y se cumple. Estimación numérica truncada (deteniéndose a 10 elevado a menos 6 de las asíntotas y en más o menos 1000 para los límites infinitos): 0.5.

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