DerivadasCálculoUniversidad≈ 1:42

Derivada de (arctan(x²+x+1))(ln(eˣ+1))

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1).

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Pasos en pantalla

1. El problema
Ejemplo resuelto
$\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right]$
2. Pasos, parte 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Regla del producto: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[\ln\left({e}^{x}+1\right)\right] = \frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Regla de la cadena — d/dx[ln u] = u′/u
3. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  Regla de la suma: derivar cada término por separado
4. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  Regla de la exponencial: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. Pasos, parte 2
1. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right)\right] = \frac{2x+1}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}$
  Regla de la cadena — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
2. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  Regla de la suma: derivar cada término por separado
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  Regla de la suma: derivar cada término por separado
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Regla de la potencia: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
4. Pasos, parte 3
1. $f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
  Reunir y simplificar
5. La respuesta
$f'(x) = \frac{\left(2x+1\right) \ln\left({e}^{x}+1\right)}{{\left({x}^{2}+ x+1\right)}^{2}+1}+\frac{\tan^{-1}\left({x}^{2}+ x+1\right) {e}^{x}}{{e}^{x}+1}$
f'(x) = (2x + 1)·ln(e^x + 1) / ((x² + x + 1)² + 1) + atan(x² + x + 1)·e^x / (e^x + 1)
6. Comprobación
- Contrastado numéricamente con un derivador simbólico independiente en 8 puntos de muestra ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Derivada de (arctan(x al cuadrado más x más 1))(ln(e elevado a x más 1)). Calcular la derivada de (atan(x al cuadrado más x más 1)) (ln(e elevado a x más 1)) con respecto a x.

Pasos, parte 1. Regla del producto: (uv) prima es igual a u prima v más uv prima. Regla de la cadena — d sobre d x[ln u] es igual a u prima /u. Regla de la suma: derivar cada término por separado. Regla de la exponencial: d sobre d x[eᵘ] es igual a eᵘ por u prima.

Pasos, parte 2. Regla de la cadena — d sobre d x[arctan u] es igual a u prima /(1 más u al cuadrado). Regla de la suma: derivar cada término por separado. Regla de la suma: derivar cada término por separado. Regla de la potencia: d sobre d x[x elevado a n] es igual a n por x elevado a n menos 1.

Pasos, parte 3. Reunir y simplificar.

La respuesta. Entonces, la respuesta es f prima de x es igual a (2x más 1) por ln(e elevado a x más 1) / ((x al cuadrado más x más 1) al cuadrado más 1) más atan(x al cuadrado más x más 1) por e elevado a x / (e elevado a x más 1). La derivada se construye de fuera hacia dentro: las sumas se separan en términos, las constantes salen como factor, los productos y los cocientes usan sus reglas y cada función compuesta se multiplica por la derivada de su interior (regla de la cadena).

Comprobación. Contrastado numéricamente con un derivador simbólico independiente en 8 puntos de muestra, y se cumple.

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