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Resolver un problema
Sucesiones y seriesÁlgebraUniversidad≈ 2:47

Evalúa la suma de 1/n⁴ desde n=1 hasta ∞

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: La serie converge (prueba de comparación del límite con Σ 1/n^4); suma ≈ 1.082323234 (coincide con π⁴/90 a 10+ dígitos).

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (1.0 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    ∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}
  2. 2. Paso a paso
    1. ∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}
      Escribir la serie
    2. lim⁡n→∞1n4=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{4}} = 0
      Criterio del término general
    3. lim⁡n→∞an1/n4=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{4}} = 1
      Comparación por paso al límite con una serie p
    4. Estimar la suma numéricamente
  3. 3. La respuesta
    ∑n=1∞1n4 converge≈1.082323234\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}} \ \text{converge} \approx 1.082323234

    limit comparison with Σ 1/n^4 ⇒ converges, S ≈ 1.082323234 (matches π⁴/90 to 10+ digits)

  4. 4. Comprobación
    • Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ = 1.0820366, S₁₀₀ = 1.0823229, S₁₀₀₀ = 1.0823232, S₁₀₀₀₀ = 1.0823232

Transcripción

El problema. Este es el problema: Evalúa la suma de 1/n elevado a 4 desde n es igual a 1 hasta infinito. Decidir si Σ 1 / n elevado a 4 (n desde 1 hasta ∞) converge o diverge.

Paso a paso. Escribir la serie. Σ a(n) para n es igual a 1, 2, 3, … con a(n) es igual a 1 / n elevado a 4. Primeros términos: 1, 0.0625, 0.0123457, 0.00390625, …. Criterio del término general. lim a(n) es igual a 0, así que el criterio de divergencia no es concluyente; los términos sí disminuyen, de modo que hace falta un criterio más fino. Comparación por paso al límite con una serie p. Términos positivos: los términos disminuyen aproximadamente como 1/n elevado a 4 (estimado a partir de a(2N)/a(N)), así que se compara con Σ 1/n elevado a 4: lim a(n) por n elevado a 4 es igual a 1. El límite es un número positivo finito, así que la serie se comporta exactamente como la serie p Σ 1/n elevado a 4, que converge porque p mayor que 1. Estimar la suma numéricamente. Se calcularon las sumas parciales S N para varios N y se extrapolaron a N → ∞ (extrapolación de Richardson; con términos alternados se promedian primero). Dos extrapolaciones independientes coinciden en menos de 10 elevado a menos 10, dando S aproximadamente 1.082323234. Cualquier forma cerrada mostrada es una identificación numérica, no una demostración.

La respuesta. Entonces, la respuesta es La serie converge (prueba de comparación del límite con Σ 1/n elevado a 4; suma aproximadamente 1.082323234 (coincide con pi elevado a 4 entre 90 a 10 más dígitos). Una serie converge cuando sus sumas parciales tienden a un número finito. Para ello los términos deben tender a 0, pero eso solo no basta (la serie armónica diverge), así que se decide con un criterio de comparación, del cociente, de la raíz, de Leibniz o de la integral.

Comprobación. Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ es igual a 1.0820366, S₁₀₀ es igual a 1.0823229, S₁₀₀₀ es igual a 1.0823232, S₁₀₀₀₀ es igual a 1.0823232.

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