Sucesiones y seriesÁlgebraUniversidad≈ 3:06

Evalúa la suma de (-1)ⁿ/n desde n=1 hasta ∞

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: La serie converge condicionalmente (prueba de la serie alternada); suma ≈ -0.6931471806 (coincide con −ln(2) a 10+ dígitos).

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Pasos en pantalla

1. El problema
Ejemplo resuelto
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
2. Pasos, parte 1
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
  Escribir la serie
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$
  Criterio del término general
3. Criterio de Leibniz para series alternadas
4. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$
  Comparación por paso al límite con una serie p
3. Pasos, parte 2
1. ¿Absoluta o condicional?
2. Estimar la suma numéricamente
4. La respuesta
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{converge condicionalmente} \approx -0.6931471806$
alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)
5. Comprobación
- Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ = -0.64563492, S₁₀₀ = -0.68817218, S₁₀₀₀ = -0.69264743, S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

Transcripción

El problema. Este es el problema: Evalúa la suma de (menos 1) elevado a n/n desde n es igual a 1 hasta infinito. Determinar si Σ (menos 1) elevado a n / n (n desde 1 hasta ∞) converge o diverge.

Pasos, parte 1. Escribir la serie. Σ a(n) para n es igual a 1, 2, 3, … con a(n) es igual a (menos 1) elevado a n / n. Primeros términos: menos 1, 0.5, menos 0.333333, 0.25, …. Criterio del término general. lim |a(n)| es igual a 0, así que el criterio de divergencia no es concluyente; los términos sí disminuyen, de modo que hace falta un criterio más fino. Criterio de Leibniz para series alternadas. Los signos se alternan y los valores absolutos b(n) es igual a 1 / n decrecen (comprobado en 310 índices hasta 10 elevado a 6) y tienden a 0, así que la serie converge. Comparación por paso al límite con una serie p. Valores absolutos Σ 1 / n: los términos disminuyen aproximadamente como 1/n (estimado a partir de a(2N)/a(N)), así que se compara con Σ 1/n: lim a(n) por n es igual a 1. El límite es un número positivo finito, así que la serie se comporta exactamente como la serie p Σ 1/n, que diverge porque p menor o igual que 1.

Pasos, parte 2. ¿Absoluta o condicional?. Σ |a(n)| diverge (comparación por paso al límite con Σ 1/n), así que la serie solo converge condicionalmente. Estimar la suma numéricamente. Se calcularon las sumas parciales S N para varios N y se extrapolaron a N → ∞ (extrapolación de Richardson; con términos alternados se promedian primero). Dos extrapolaciones independientes coinciden en menos de 10 elevado a menos 10, dando S aproximadamente menos 0.6931471806. Cualquier forma cerrada mostrada es una identificación numérica, no una demostración.

La respuesta. Entonces, la respuesta es La serie converge condicionalmente (prueba de la serie alternada); suma aproximadamente menos 0.6931471806 (coincide con menos ln(2) a 10 más dígitos). Una serie converge cuando sus sumas parciales tienden a un número finito. Para ello los términos deben tender a 0, pero eso solo no basta (la serie armónica diverge), así que se decide con un criterio de comparación, del cociente, de la raíz, de Leibniz o de la integral.

Comprobación. Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ es igual a menos 0.64563492, S₁₀₀ es igual a menos 0.68817218, S₁₀₀₀ es igual a menos 0.69264743, S₁₀₀₀₀ es igual a menos 0.69309718.

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