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Resolver un problema
VectoresÁlgebra linealUniversidad≈ 0:41

Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨1, 0, 1⟩ y ⟨0, 1, 1⟩

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: u · v = 1, ángulo ≈ 60°.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Problema original (inglés): Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨1, 0, 1⟩ y ⟨0, 1, 1⟩

Video en inglés: Descargar MP4 (0.3 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨1, 0, 1⟩ y ⟨0, 1, 1⟩
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. (1)(0)+(0)(1)+(1)(1)(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)
      Multiplicar las componentes correspondientes
    2. uv=0+0+1=1u v = 0 + 0 + 1 = 1
      Sumar los productos
    3. ∣u∣=2=2≈1.414213562,∣v∣=2=2≈1.414213562|u| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562,\quad |v| = \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414213562
      Calcular los módulos
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=12≈0.5⇒θ≈60° (1.0471976 rad)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{1}{2} \approx 0.5 \Rightarrow \theta \approx 60° \ (1.0471976\text{ rad})
      Ángulo entre los vectores
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈0.70710678,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨0,12,12⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx 0.70710678,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \rangle
      Proyección escalar y vectorial de u sobre v
  4. 4. La respuesta
    uv=1u v = 1

    u·v = 1

  5. 5. Comprobación
    • Calculado de forma exacta; el producto escalar es simétrico, así que v·u da el mismo valor.

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨1, 0, 1⟩ y ⟨0, 1, 1⟩. Producto escalar de dos vectores de 3 dimensiones.

Pasos, parte 1. Multiplicar las componentes correspondientes. Sumar los productos. Calcular los módulos. Ángulo entre los vectores.

Pasos, parte 2. Proyección escalar y vectorial de u sobre v.

La respuesta. Entonces, la respuesta es u por v es igual a 1, ángulo aproximadamente 60°. El producto escalar es positivo, así que el ángulo entre los vectores es agudo.

Comprobación. Calculado de forma exacta; el producto escalar es simétrico, así que v por u da el mismo valor.

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