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Resolver un problema
VectoresÁlgebra linealUniversidad≈ 0:42

Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨2, -1⟩ y ⟨1, 3⟩

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: u · v = -1, ángulo ≈ 98.130102°.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Problema original (inglés): Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨2, -1⟩ y ⟨1, 3⟩

Video en inglés: Descargar MP4 (0.3 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨2, -1⟩ y ⟨1, 3⟩
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. (2)(1)+(−1)(3)(2)(1) + (-1)(3)
      Multiplicar las componentes correspondientes
    2. uv=2−3=−1u v = 2 - 3 = -1
      Sumar los productos
    3. ∣u∣=5=5≈2.236067977,∣v∣=10=10≈3.16227766|u| = \sqrt{5} = \sqrt{5} \approx 2.236067977,\quad |v| = \sqrt{10} = \sqrt{10} \approx 3.16227766
      Calcular los módulos
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=−17.0710678≈−0.14142136⇒θ≈98.130102° (1.7126934 rad)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-1}{7.0710678} \approx -0.14142136 \Rightarrow \theta \approx 98.130102° \ (1.7126934\text{ rad})
      Ángulo entre los vectores
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈−0.31622777,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨−110,−310⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.31622777,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{1}{10}, -\frac{3}{10} \rangle
      Proyección escalar y vectorial de u sobre v
  4. 4. La respuesta
    uv=−1u v = -1

    u·v = -1

  5. 5. Comprobación
    • Calculado de forma exacta; el producto escalar es simétrico, así que v·u da el mismo valor.

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨2, menos 1⟩ y ⟨1, 3⟩. Producto escalar de dos vectores de 2 dimensiones.

Pasos, parte 1. Multiplicar las componentes correspondientes. Sumar los productos. Calcular los módulos. Ángulo entre los vectores.

Pasos, parte 2. Proyección escalar y vectorial de u sobre v.

La respuesta. Entonces, la respuesta es u por v es igual a menos 1, ángulo aproximadamente 98.130102°. El producto escalar es negativo, así que el ángulo entre los vectores es obtuso.

Comprobación. Calculado de forma exacta; el producto escalar es simétrico, así que v por u da el mismo valor.

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