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Resolver un problema
VectoresÁlgebra linealUniversidad≈ 0:43

Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨5, 2, -1⟩ y ⟨1, -3, 4⟩

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: u · v = -5, ángulo ≈ 100.31319°.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Problema original (inglés): Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨5, 2, -1⟩ y ⟨1, -3, 4⟩

Video en inglés: Descargar MP4 (0.3 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨5, 2, -1⟩ y ⟨1, -3, 4⟩
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. (5)(1)+(2)(−3)+(−1)(4)(5)(1) + (2)(-3) + (-1)(4)
      Multiplicar las componentes correspondientes
    2. uv=5−6−4=−5u v = 5 - 6 - 4 = -5
      Sumar los productos
    3. ∣u∣=30=30≈5.477225575,∣v∣=26=26≈5.099019514|u| = \sqrt{30} = \sqrt{30} \approx 5.477225575,\quad |v| = \sqrt{26} = \sqrt{26} \approx 5.099019514
      Calcular los módulos
    4. cos⁡θ=uv∣u∣∣v∣=−527.92848≈−0.17902872⇒θ≈100.31319° (1.7507955 rad)\cos\theta = \frac{u v}{|u||v|} = \frac{-5}{27.92848} \approx -0.17902872 \Rightarrow \theta \approx 100.31319° \ (1.7507955\text{ rad})
      Ángulo entre los vectores
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. comp⁡vu=uv∣v∣≈−0.98058068,proj⁡vu=uv∣v∣2v=⟨−526,1526,−1013⟩\operatorname{comp}_v u = \frac{u v}{|v|} \approx -0.98058068,\quad \operatorname{proj}_v u = \frac{u v}{|v|^2}v = \langle -\frac{5}{26}, \frac{15}{26}, -\frac{10}{13} \rangle
      Proyección escalar y vectorial de u sobre v
  4. 4. La respuesta
    uv=−5u v = -5

    u·v = -5

  5. 5. Comprobación
    • Calculado de forma exacta; el producto escalar es simétrico, así que v·u da el mismo valor.

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla el producto escalar y el ángulo entre ⟨5, 2, menos 1⟩ y ⟨1, menos 3, 4⟩. Producto escalar de dos vectores de 3 dimensiones.

Pasos, parte 1. Multiplicar las componentes correspondientes. Sumar los productos. Calcular los módulos. Ángulo entre los vectores.

Pasos, parte 2. Proyección escalar y vectorial de u sobre v.

La respuesta. Entonces, la respuesta es u por v es igual a menos 5, ángulo aproximadamente 100.31319°. El producto escalar es negativo, así que el ángulo entre los vectores es obtuso.

Comprobación. Calculado de forma exacta; el producto escalar es simétrico, así que v por u da el mismo valor.

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