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Resolver un problema
MatricesÁlgebra linealUniversidad≈ 1:11

Halla los valores propios de la matriz [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: λ = 11, 2, 1.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Problema original (inglés): Halla los valores propios de la matriz [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]

Video en inglés: Descargar MP4 (0.5 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    Halla los valores propios de la matriz [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[200034049]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 9\end{bmatrix}
      Plantear la ecuación característica
    2. p(λ)=λ3−14λ2+35λ−22p(\lambda) = \lambda^{3} - 14\lambda^{2} + 35\lambda - 22
      Polinomio característico
    3. λ=1, λ=2, λ=11\lambda = 1,\ \lambda = 2,\ \lambda = 11
      Raíces racionales halladas con el teorema de las raíces racionales
    4. [−9000−8404−2] v=0⇒v=⟨0,1,2⟩\begin{bmatrix}-9 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 4 \\ 0 & 4 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, 1, 2 \rangle
      Vectores propios para λ = 11: resolver (A − λI)v = 0
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. [000014047] v=0⇒v=⟨1,0,0⟩\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 7\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 0, 0 \rangle
      Vectores propios para λ = 2: resolver (A − λI)v = 0
    2. [100024048] v=0⇒v=⟨0,−2,1⟩\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 8\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 0, -2, 1 \rangle
      Vectores propios para λ = 1: resolver (A − λI)v = 0
  4. 4. La respuesta
    λ=11, 2, 1\lambda = 11,\ 2,\ 1

    p(λ) roots: 11, 2, 1

  5. 5. Comprobación
    • La suma de los valores propios ≈ 14 coincide con la traza 14.
    • El producto de los valores propios coincide con el determinante 22.

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla los valores propios de la matriz [2 0 0; 0 3 4; 0 4 9]. Calcular los valores propios y los vectores propios de una matriz de 3 por 3.

Pasos, parte 1. Plantear la ecuación característica. Polinomio característico. Raíces racionales halladas con el teorema de las raíces racionales. Vectores propios para λ es igual a 11: resolver (A menos λI)v es igual a 0.

Pasos, parte 2. Vectores propios para λ es igual a 2: resolver (A menos λI)v es igual a 0. Vectores propios para λ es igual a 1: resolver (A menos λI)v es igual a 0.

La respuesta. Entonces, la respuesta es λ es igual a 11, 2, 1. Los valores propios son las raíces del polinomio característico. Vectores propios: λ es igual a 11: ⟨0, 1, 2⟩; λ es igual a 2: ⟨1, 0, 0⟩; λ es igual a 1: ⟨0, menos 2, 1⟩.

Comprobación. La suma de los valores propios aproximadamente 14 coincide con la traza 14. El producto de los valores propios coincide con el determinante 22.

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