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Resolver un problema
MatricesÁlgebra linealUniversidad≈ 1:02

Halla los valores propios de la matriz [5 4; 1 2]

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: λ = 6, 1.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Problema original (inglés): Halla los valores propios de la matriz [5 4; 1 2]

Video en inglés: Descargar MP4 (0.4 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    Halla los valores propios de la matriz [5 4; 1 2]
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[5412]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}5 & 4 \\ 1 & 2\end{bmatrix}
      Plantear la ecuación característica
    2. λ2−(7)λ+(6)=0\lambda^2 - (7)\lambda + (6) = 0
      Para una matriz de 2×2 es λ² − (traza)λ + det
    3. p(λ)=λ2−7λ+6p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 6
      Polinomio característico
    4. λ=1, λ=6\lambda = 1,\ \lambda = 6
      Raíces racionales halladas con el teorema de las raíces racionales
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. [−141−4] v=0⇒v=⟨4,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 4 \\ 1 & -4\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 4, 1 \rangle
      Vectores propios para λ = 6: resolver (A − λI)v = 0
    2. [4411] v=0⇒v=⟨−1,1⟩\begin{bmatrix}4 & 4 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1 \rangle
      Vectores propios para λ = 1: resolver (A − λI)v = 0
  4. 4. La respuesta
    λ=6, 1\lambda = 6,\ 1

    p(λ) roots: 6, 1

  5. 5. Comprobación
    • La suma de los valores propios ≈ 7 coincide con la traza 7.
    • El producto de los valores propios coincide con el determinante 6.

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla los valores propios de la matriz [5 4; 1 2]. Calcular los valores propios y los vectores propios de una matriz de 2 por 2.

Pasos, parte 1. Plantear la ecuación característica. Para una matriz de 2 por 2 es λ al cuadrado menos (traza)λ más det. Polinomio característico. Raíces racionales halladas con el teorema de las raíces racionales.

Pasos, parte 2. Vectores propios para λ es igual a 6: resolver (A menos λI)v es igual a 0. Vectores propios para λ es igual a 1: resolver (A menos λI)v es igual a 0.

La respuesta. Entonces, la respuesta es λ es igual a 6, 1. Los valores propios son las raíces del polinomio característico. Vectores propios: λ es igual a 6: ⟨4, 1⟩; λ es igual a 1: ⟨-1, 1⟩.

Comprobación. La suma de los valores propios aproximadamente 7 coincide con la traza 7. El producto de los valores propios coincide con el determinante 6.

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