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Resolver un problema
MatricesÁlgebra linealUniversidad≈ 1:07

Halla los valores propios de la matriz [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: λ = 3, 3, 1.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Problema original (inglés): Halla los valores propios de la matriz [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]

Video en inglés: Descargar MP4 (0.4 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    Halla los valores propios de la matriz [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. det⁡(λI−A)=0,A=[210120003]\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}
      Plantear la ecuación característica
    2. p(λ)=λ3−7λ2+15λ−9p(\lambda) = \lambda^{3} - 7\lambda^{2} + 15\lambda - 9
      Polinomio característico
    3. λ=1, λ=3, λ=3\lambda = 1,\ \lambda = 3,\ \lambda = 3
      Raíces racionales halladas con el teorema de las raíces racionales
    4. [−1101−10000] v=0⇒v=⟨1,1,0⟩, ⟨0,0,1⟩\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1, 0 \rangle,\ \langle 0, 0, 1 \rangle
      Vectores propios para λ = 3: resolver (A − λI)v = 0
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. [110110002] v=0⇒v=⟨−1,1,0⟩\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 1, 0 \rangle
      Vectores propios para λ = 1: resolver (A − λI)v = 0
  4. 4. La respuesta
    λ=3, 3, 1\lambda = 3,\ 3,\ 1

    p(λ) roots: 3, 3, 1

  5. 5. Comprobación
    • La suma de los valores propios ≈ 7 coincide con la traza 7.
    • El producto de los valores propios coincide con el determinante 9.

Transcripción

El problema. Este es el problema: Halla los valores propios de la matriz [2 1 0; 1 2 0; 0 0 3]. Calcular los valores propios y los vectores propios de una matriz de 3 por 3.

Pasos, parte 1. Plantear la ecuación característica. Polinomio característico. Raíces racionales halladas con el teorema de las raíces racionales. Vectores propios para λ es igual a 3: resolver (A menos λI)v es igual a 0. Multiplicidad algebraica 2, multiplicidad geométrica 2.

Pasos, parte 2. Vectores propios para λ es igual a 1: resolver (A menos λI)v es igual a 0.

La respuesta. Entonces, la respuesta es λ es igual a 3, 3, 1. Los valores propios son las raíces del polinomio característico. Vectores propios: λ es igual a 3: ⟨1, 1, 0⟩, ⟨0, 0, 1⟩; λ es igual a 1: ⟨-1, 1, 0⟩.

Comprobación. La suma de los valores propios aproximadamente 7 coincide con la traza 7. El producto de los valores propios coincide con el determinante 9.

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